1.4 Aplicaciones de la integral definida.

1.4.3 Volúmenes de sólidos de revolución: discos, arandelas y capas cilíndricas.

Un sólido de revolución es una figura obtenida como consecuencia de hacer rotar una región plana alrededor de una recta cualquiera que esté contenida en el mismo plano. Una superficie de revolución es la superficie exterior de un sólido de revolución, es decir, encierra una porción de espacio dentro de la misma. Empleando el cálculo integral es posible calcular el volumen de superficies de este tipo. Dentro de esta sección veremos algunos métodos para el cálculo de volúmenes de sólidos de revolución.

Método de Discos.

Este método consiste en hacer rotar la gráfica de nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la suma de discos. Para obtener el volumen de un disco se multiplica el área del círculo por la altura de este: \[ V = \pi r^2 h \] En este caso tomaremos el eje \(x\) como el eje de rotación, por lo que el radio del círculo está definido por la función en \(x\) y la altura será \(\Delta x\): \[ V = \pi [f(x)]^2 \Delta x \] Por lo tanto: \[ V = \lim_{h\to\infty}\sum_{h=1}^{\infty} \pi [f(x)]^2 \Delta x \] Por lo anterior, tendremos dos casos:

• Si usamos rectángulos verticales: \[ V = \int_{a}^{b} \pi [f(x)]^2 \,dx \]
• Si usamos rectángulos horizontales: \[ V = \int_{a}^{b} \pi [f(y)]^2 \,dy \]

Ejemplo.

Hallar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor del eje \(x\) la región bajo la curva: \(y = \sqrt{x}\) de \(0\) a \(1\). Como podemos observar en la siguiente gráfica, al girar alrededor de \(x\) el rectángulo, se obtiene un disco. Por lo que usamos el método de discos para obtener el volumen del sólido de revolución.

Planteamos la integral: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 \,dx \] Resolvemos la integral: \[ V = \pi \int_{0}^{1} x \,dx = \pi \left[\frac{x^2}{2} \right] \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2} \pi u^3 \] El volumen del sólido es: \[ V = \frac{1}{2} \pi \: u^3 \]

Método de Arandelas.

Se utiliza este método cuando se trata de calcular el volumen de un sólido de revolución con un agujero. Este tipo de sólidos aparecen cuando la región plana que gira y el eje de revolución no están juntos. Si se gira esta región alrededor del eje \(x\) entonces el volumen del solido resultante es: \[ V\:f(x)= \int_{a}^{b} \pi [Re^2 - Ri^2] \,dx \] Donde: \begin{array} {rcl} Re &=& Radio\:del\:disco\:mayor\:o\:el\:externo \rightarrow f(x) \\ Ri &=& Radio\:del\:disco\:menor\:o\:el\:interno \rightarrow g(x) \end{array} Sí se gira esta región alrededor del eje \(y\) entonces el volumen del solido resultante es: \[ V\:f(y)= \int_{a}^{b} \pi [Re^2 - Ri^2] \,dy \] Donde: \begin{array} {rcl} Re &=& Radio\:del\:disco\:mayor\:o\:el\:externo \rightarrow f(x) \\ Ri &=& Radio\:del\:disco\:menor\:o\:el\:interno \rightarrow g(x) \end{array}

Ejemplo 1.

Sean las funciones \(y=x^2\) y \(y=x\), determinar el volumen de los sólidos de revolución que se forman al girar el área comprendida entre ambas funciones, alrededor del punto \(x=1\). Primero graficaremos en el plano cartesiano las dos funciones, una vez hecho esto, giramos el área comprendida entre la parábola y la recta alrededor de la función dada (en este caso el punto \(x=1\)), procedemos a ver si lo haremos con rectángulos verticales u horizontales, de tal modo que podamos aplicar alguna de las fórmulas ya mencionadas anteriormente.

Para este caso utilizaremos la fórmula para rectángulos horizontales. \[ V = \int_{a}^{b} \pi [(f(y))^2-(g(y))^2] \,dy \] Ahora, procederemos a definir el radio externo y el radio interno pero esta vez en función de \(y\). \begin{array} {rcl} r_{I} &=& 1 - \sqrt{y} &\rightarrow& \:\: r_{I}^{2} &=& (1-\sqrt{y})^2 &=& 1 - 2\sqrt{y} + y \\ r_{E} &=& 1 - y &\rightarrow& \:\: r_{E}^{2} &=& (1-y)^2 &=& 1 - 2y + y^2 \end{array} Sustituimos en la fórmula: \[ V = \int_{0}^{1} \pi [1 - 2y + y^2 - (1 - 2\sqrt{y} + y)] \,dy \] Reducimos términos: \[ V = \int_{0}^{1} \pi [-3y+y^2+2\sqrt{y}] \,dy \] Resolvemos la integral definida: \[ V = \pi \left[\frac{-3y^2}{2} + \frac{y^3}{3} + \frac{4}{3}y^{\frac{3}{2}} \right] \Big|_{0}^{1} \] Evaluamos el resultado en los puntos donde ambas funciones se intersectan, y obtenemos el resultado final: \[ V = \pi \left[\frac{-3(1)^2}{2} + \frac{(1)^3}{3} + \frac{4}{3}(1)^{\frac{3}{2}} \right] = \frac{1}{6} \pi\:u^3 \]

Ejemplo 2.

Sean las funciones \(y^2=x\) y \(x=2y\), determine el volumen de los sólidos de revolución que se forman al girar el área comprendida entre ambas funciones, alrededor del eje \(x\). Primero se trazan en el plano cartesiano las dos funciones, una vez hecho esto, se gira el área comprendida entre la recta y la parábola alrededor de la función dada (en este caso en el eje \(x\)), procedemos a ver si lo haremos con rectángulos verticales u horizontales, de tal modo que podamos aplicar alguna de las fórmulas ya mencionadas anteriormente.

Para este caso utilizaremos la fórmula para rectángulos verticales. \[ V = \int_{a}^{b} \pi [(f(x))^2-(g(x))^2] \,dx \] Por lo que procederemos a definir el radio externo y el radio interno pero esta vez en función de \(x\). \begin{array} {rcl} r_{E} &=& \sqrt{x} &\rightarrow& \:\: r_{E}^{2} &=& x \\ r_{I} &=& \frac{x}{2} &\rightarrow& \:\: r_{I}^{2} &=& \frac{x^2}{4} \end{array} Sustituimos en la integral: \[ V = \int_{0}^{4} \pi \left[x - \frac{x^2}{4} \right] \,dx \] Procedemos a resolver la integral definida y nos da como resultado: \[ V = \pi \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{12} \right] \Big|_{0}^{4} = \frac{8}{3}\pi\:u^3 \]

Por lo tanto, el volumen obtenido es: \[ V = \frac{8}{3}\pi\:u^3 \]

Método de capas o envolventes cilíndricas.

Consideremos la región plana determinada por la gráfica de una función \(f(x)\), y las rectas \(x=a\), \(x=b\). El volumen del sólido de revolución obtenido al girar dicha región alrededor de un eje vertical \(x=x_{0}\) está dado por: \[ \int_{a}^{b} 2 \pi x \:f(x)\,dx \] Donde: \begin{array} {rcl} x &=& Radio \\ f(x) &=& Altura \\ dx &=& Espesor \end{array} Si consideramos la región plana determinada por la gráfica de una función \(f(y)\), y las rectas \(y=a\), \(y=b\). El volumen del sólido de revolución obtenido al girar dicha región alrededor de un eje horizontal \(y=y_{0}\) viene dado por: \[ \int_{a}^{b} 2 \pi y \:f(y)\,dy \] Donde: \begin{array} {rcl} y &=& Radio \\ f(y) &=& Altura \\ dy &=& Espesor \end{array}

Ejemplo 1.

Encontrar el volumen del sólido de revolución formado al girar la región acotada por \(y=x-x^3\) el eje \(x \:( 0 \leq x \leq 1)\) alrededor del eje \(y\).

\begin{array} {rcl} x-x^3 &=& 0 \\ x(1-x^2) &=& 0 \end{array} \[ x_{1} = 0; \: x_{2} = 1; \: x_{3} = -1 \] \[ V = 2\pi \int_{-1}^{1} x(x-x^3)\,dx \] \[ V = 2\pi \int_{-1}^{1} (x^2-x^4)\,dx \] \[ V = 2\pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5} \right] \Big|_{-1}^{1} \] \[ V = \frac{4}{15} \pi \: u^3 \]

Ejemplo 2.

La región acotada por la gráfica de \(y=2x-x^2\) alrededor del eje \(y\), calcule el volumen del sólido resultante.

\[ V = 2\pi \int_{0}^{2} x(2x-x^2)\,dx \] \[ V = 2\pi \int_{0}^{2} (2x^2-x^3)\,dx \] \[ V = 2\pi \left[\frac{2x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right] \Big|_{0}^{2} \] \[ V = \frac{8}{3} \pi \: u^3 \]