Listas de Ejercicios de la Unidad III

Actividades de la Unidad III

Recursos de la Unidad III

3.1 Sucesiones

3.1.5 Teoremas para sucesiones

Teorema I. Sea \(\{ a_{n} \}\) una sucesión infinita y sea \( f(n) = a_{n} \) donde \( f(x) \) existe para todo número real \( x \geq 1 \).

Este teorema nos permite determinar el límite de una sucesión, a partir de límite de la función real, lo que justifica el uso de todas las propiedades y estrategias sobre límites.

Ejemplo 1. Teorema I.

Determinemos si convergen o divergen las sucesiones \( \{ \frac{1}{n} \} \) y \( \{ \sqrt{n} \} \) que son las que graficamos anteriormente y que de acuerdo con su gráfica se dijo si convergen o divergen, este comportamiento debe ser el mismo que se obtenga algebraicamente.

1. Determinemos si la sucesión \( \{ \frac{1}{n} \} \) converge o diverge, de acuerdo a la definición calculamos el límite: \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \] Por lo tanto, la sucesión converge a cero, tal y como se había visto gráficamente.

2. Determinemos si la sucesión \( \{ \sqrt{n} \} \) converge o diverge, de acuerdo a la definición calculamos el límite: \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = \infty \] Por lo tanto, la sucesión diverge, tal y como se había visto gráficamente.

Teorema II. Sea \(\{ a_{n} \}\) una sucesión con \( a_{n} = r^{n} \) con \(r\) constante:

Como podemos observar, el teorema no nos dice que pasa con el valor del límite cuando \( r = \pm 1 \), determinemos que pasa en ese caso.

(i) \( \lim\limits_{n \to \infty} (1)^{n} = 1^{\infty} \), forma indeterminada de potencia. \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (1)^{n} = \lim_{n \to \infty} n \ln(1) = \lim_{n \to \infty} n (0) = 0 \] \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (1)^{n} = e^{0} = 1 \] Luego entonces, la sucesión \( \bigg\{ (1)^{n} \bigg\} \) converge a \(1\).

Ahora bien, si analizamos la sucesión anterior esta corresponde a: \[ \bigg\{ (1)^{n} \bigg\} = \{ 1, 1, 1, 1, 1, ..., 1, ... \} \] Es decir, la sucesión es constante 1, por lo tanto, la sucesión converge a 1.

(ii) \( \lim\limits_{n \to \infty} (-1)^{n} \), este límite no lo podemos determinar, ya que dependiendo de \(n\), varía el resultado, lo que podemos hacer es analizar la sucesión desde donde parte: \[ \bigg\{ (-1)^{n} \bigg\} = \{-1, 1, -1, 1, -1, 1, ...\} \] Esta sucesión puede descomponerse en dos sub-sucesiones: \[ \bigg\{ (-1)^{n} \bigg\} = \begin{cases} \bigg\{ (-1)^{n} \bigg\} \;con\; n \; impar \\ \bigg\{ (-1)^{n} \bigg\} \;con\; n \; par \end{cases} \Rightarrow \bigg\{ (-1)^{n} \bigg\} = \begin{cases} \{ {-1, -1, -1, ...} \} \;con\; n \; impar \\ \{ {1, 1, 1, 1, 1, ...} \} \;con\; n \; par \end{cases} \] Cada una de estas sub-sucesiones por si sola es una sucesión y cada una de ellas converge ya que: \[ \lim_{n \to \infty} -1 = -1 \;y\; \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \] Pero como podemos ver, el límite no existe, ya que se aproxima a dos valores diferentes, y además, como las dos sub-sucesiones \(\{-1\}\) y \(\{1\}\) constituyen la sucesión \( \bigg\{ (1)^{n} \bigg\} \), para que esta última converja ambas sub-sucesiones deben de converger al mismo valor, por lo que esto no sucede, luego entonces, decimos que la sucesión diverge.

Con esto, podemos determinar si la sucesión \( \{a_{n}\} \) con \( a_{n} = r^{n} \) con \(r\) constante, converge o diverge para todo valor de \(a\).

Teorema III. Sea \(\{ a_{n} \}\) una sucesión, si: \[ \lim_{n \to \infty} |a_{n}| = 0 \; entonces \; \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 \] Este teorema es útil cuando tenemos sucesiones con el factor \( (-1)^n \)

Ejemplo 2. Teorema III.

Determinar si la sucesión \( \bigg\{ (-1)^{n+1} \displaystyle\frac{1}{n} \bigg\} \) converge o diverge.

Para determinar si la sucesión converge o diverge, calculamos el límite: \[ \lim_{n \to \infty } (-1)^{n+1} \frac{1}{n} = ? \] Como el limite tiene el signo \(–1\) que varía conforme \(n\) lo hace, no podemos determinar su valor, pero podemos dividirlo en sub-sucesiones, estas son \( \bigg\{ \displaystyle\frac{1}{n} \bigg\} \) si \(n\) es impar y \( \bigg\{ - \displaystyle\frac{1}{n} \bigg\} \) si \(n\) es par, entonces, determinemos si convergen o divergen: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \;y\; \lim_{n \to \infty} - \frac{1}{n} = 0 \] Ambas sucesiones convergen a cero, luego entonces el límite: \[ \lim_{n \to \infty } (-1)^{n+1} \frac{1}{n} = 0 \] Por lo tanto la sucesión \( \bigg\{ (-1)^{n+1} \displaystyle\frac{1}{n} \bigg\} \) converge a \(0\).

Otra opción más directa es usar el teorema anterior, que nos dice que calculemos el límite del valor absoluto de término n-ésimo y si este vale cero, entonces el límite del término general de la sucesión también es cero, así, aplicando propiedades de valor absoluto tenemos: \[ \lim_{n \to \infty } \bigg| (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \bigg| = \lim_{n \to \infty } \bigg| (-1)^{n+1} \bigg| \bigg| \frac{1}{n} \bigg| = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \] Ya que \(|(-1)^{n+1}| = 1\), debido a que el valor absoluto ya sea de \(1\) o de \(-1\) es \(1\), y como \(n\) es positivo \( \displaystyle\frac{1}{n} \gt 0 \) con lo cual \( \bigg|\displaystyle\frac{1}{n} \bigg| = \frac{1}{n} \), así entonces: \[ \lim_{n \to \infty } \bigg| (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \bigg| = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 \] Por el teorema, el límite: \[ \lim_{n \to \infty } (-1)^{n+1} \frac{1}{n} = 0 \] Por lo tanto, la sucesión \( \bigg\{ (-1)^{n+1} \displaystyle\frac{1}{n} \bigg\} \) converge a 0.

Teorema IV. (De intercalación para sucesiones) Si \(\{ a_{n} \}\), \(\{ b_{n} \}\) y \(\{ c_{n} \}\) son sucesiones infinitas tal que \( a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} \) para todo \(n\) y si: \[ \lim_{n \to \infty } a_{n} = L = \lim_{n \to \infty } c_{n} \] Entonces \( \lim\limits_{n \to \infty } b_{n} = L \)

Ejemplo 3. Teorema IV.

Determinar si la sucesión \( \bigg\{ \displaystyle\frac{cos^{2}n}{3^{n}} \bigg\} \) converge o diverge. Para determinar si converge o diverge calculemos el límite: \[ \lim_{n \to \infty } \frac{cos^{2}n}{3^{n}} = \frac{cos^2 \infty}{3^{\infty}} = \frac{?}{\infty} \] Si evaluamos el límite no obtenemos una forma indeterminada, ya que el denominador tiende a infinito, pero el numerador, la función trigonométrica no permite determinar un valor ya que no se aproxima a un mismo valor, luego este límite no existe. No podemos emplear la regla de L´Hôpital porque no llegamos a una forma indeterminada de cociente. La forma para determinar el valor del límite es con el teorema de intercalación, este dice que hay que acotar la sucesión por abajo y por arriba.

El término general de la sucesión es \( a_{n} = \displaystyle\frac{cos^{2}n}{3^{n}} \), está constituido por una función trigonométrica y una función exponencial general, la función trigonométrica si está acotada y la exponencial solo por abajo, entonces, partamos por la función trigonométrica.

Sabemos que la función \( cos\;n\) está acotada, por lo que \( -1 \leq cos\;n \leq 1 \), luego \( 0 \leq cos^{2}n \leq 1 \), esto es porque el cuadrado de la función coseno son solo números positivos y como la función era menor o igual a \(1\) el cuadrado también es menor o igual a \(1\), así: \[ 0 \leq cos^{2}n \leq 1 \] Dividiendo por la función exponencial tenemos que: \[ \frac{0}{3^{n}} \leq \frac{cos^{2}n}{3^{n}} \leq \frac{1}{3^{n}} \] Vemos que no cambia el signo de la desigualdad porque la función \(3^{n}\) siempre es positiva. \[ 0 \leq \frac{cos^{2}n}{3^{n}} \leq \frac{1}{3^{n}} \] De este modo ya acotamos el término general de la sucesión y tenemos lo siguiente: \[ a_{n} = \{0\}, b_{n} = \bigg\{ \frac{cos^{2}n}{3^{n}} \bigg\}, c_{n} = \bigg\{ \frac{1}{3^{n}} \bigg\} \] Procedemos a calcular los límites: \[ \lim_{n \to \infty } a_{n} = \lim_{n \to \infty } 0 = 0 \] \[ \lim_{n \to \infty } c_{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{3^{n}} = \frac{1}{3^{\infty}} = 0 \] Por el teorema si se cumple que: \[ \lim_{n \to \infty } a_{n} = 0 = \lim_{n \to \infty } c_{n} \] Por lo tanto se tiene que: \[ \lim_{n \to \infty } b_{n} = 0 \] Así: \[ \lim_{n \to \infty } \frac{cos^{2}n}{3^{n}} = 0\] La sucesión \( \bigg\{ \displaystyle\frac{cos^{2}n}{3^{n}} \bigg\} \) converge a 0.

\[ 1. \lim_{n \to \infty } \frac{\ln n}{n} = 0 \] \[ 2. \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1 \] \[ 3. \lim_{n \to \infty } \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^{n} = e^{x} \] \[ 4. \lim_{n \to \infty } \frac{x^{n}}{n!} = 0 \] En esto dos últimos límites \( x \) representa a un número real.

Demostración.

Ahora realizaremos la demostración de cada uno de los límites planteados. \[ 1. \lim_{n \to \infty } \frac{\ln n}{n} = \frac{\ln \infty}{\infty} = \frac{\infty}{\infty} \]

Aplicando la regla de L'Hôpital tenemos que: \[ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln n}{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{1}{n}}{1} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} = \frac{1}{\infty} = 0 \] Por lo tanto: \[ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln n}{n} = 0 \]

Para el segundo límite tenemos una forma de potencia indeterminada: \[ 2. \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = \lim_{n \to \infty } (n)^{\frac{1}{n}} = \infty^{\frac{1}{\infty}} = \infty^{0} \] Aplicando lo que vimos anteriormente en la Unidad II "Potencias Indeterminadas", podemos representar este límite como sigue para eliminar la forma de potencia indeterminada:

\[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \ln n = \frac{1}{\infty} \ln \infty = 0 (\infty) \] El resultado es una forma de producto indeterminado, por lo que podemos aplicar lo siguiente: \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \ln n = \lim_{n \to \infty } \frac{\ln n}{n} = \frac{\ln \infty}{\infty} = \frac{\infty}{\infty} \] Llegamos a un punto en donde podemos aplicar la regla de L'Hôpital ya que tenemos la forma de un cociente indeterminado, pero ese límite es el mismo que resolvimos en la demostración anterior, entonces: \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{\ln n}{n} = 0 \] Finalmente, aplicamos la exponencial a ambos lados de la ecuación y se tiene que: \[ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = e^{0} = 1 \]

Para el tercer límite nuevamente tenemos una forma de potencia indeterminada: \[ 3. \lim_{n \to \infty } \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^{n} = \left( 1 + \frac{x}{\infty} \right)^{\infty} = (1)^{\infty} \] Utilizando el mismo procedimiento que hicimos para la demostración anterior se tiene que:

\[ \lim_{n \to \infty } n \ln{ \left( 1 + \frac{x}{n} \right) } = \infty \ln{ \left( 1 + \frac{x}{\infty} \right) } = \infty \ln{1} = \infty (0) \] Al obtener una forma de producto indeterminado, aplicaremos lo siguiente: \[ \lim_{n \to \infty } n \ln{ \left( 1 + \frac{x}{n} \right) } = \lim_{n \to \infty } \frac{\ln{ \left( 1 + \frac{x}{n} \right) }}{\frac{1}{n}} \] \[ \Rightarrow \frac{\ln{ \left( 1 + \frac{x}{\infty} \right)}}{\frac{1}{\infty}} = \frac{\ln{1}}{0} = \frac{0}{0} \] Aplicando la regla de L'Hôpital: \[ \lim_{n \to \infty } \frac{\ln{ \left(1 + \frac{x}{n} \right) }}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{1}{1+\frac{x}{n}} \left( -\frac{x}{n^2} \right)}{-\frac{1}{n^{2}}} = \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{x}{1+\frac{x}{n}} \left( -\frac{1}{n^2} \right)}{-\frac{1}{n^{2}}} \] \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{x}{1+\frac{x}{n}} = \frac{x}{1+\frac{x}{\infty}} = x \] Por lo tanto, una vez aplicamos la exponencial a ambos lados de la ecuación tenemos que: \[ \lim_{n \to \infty } \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^{n} = e^{x} \]

El último el límite tiene la forma de cociente indeterminado, pero no podemos aplicar la regla de L´Hôpital ya que no hay una manera de calcular derivada de \( f(x) = x! \), así necesitamos buscar otra opción para determinar el límite. \[ 4. \lim_{n \to \infty } \frac{x^{n}}{n!} = \frac{x^{\infty}}{\infty!} = \frac{\infty}{\infty} \] Comencemos expresando la función de manera desarrollada:

\[ \lim_{n \to \infty } \frac{x^{n}}{n!} = \lim_{n \to \infty } \frac{x \times x \times x ... \times x}{n(n-1)(n-2)... 1} \] Como podemos observar tanto en el numerador como el denominador tienen \(n\) factores, por lo que es posible asociarlos en cocientes como sigue: \[ \lim_{n \to \infty } \frac{x \times x \times x ... \times x}{n(n-1)(n-2)... 1} = \lim_{n \to \infty } \left( \frac{x}{n} \right) \left( \frac{x}{n-1} \right) \left( \frac{x}{n-2} \right) ... \left( \frac{x}{2} \right) \left( \frac{x}{1} \right) \] Por propiedades de los límites, tenemos: \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left(\frac{x}{n} \right) \lim_{n \to \infty} \left( \frac{x}{n-1} \right) \lim_{n \to \infty} \left( \frac{x}{n-2} \right) ... \lim_{n \to \infty} \left(\frac{x}{2} \right) \lim_{n \to \infty} \left( \frac{x}{1} \right) \] Evaluando cada límite tenemos: \[ \Rightarrow \left( \frac{x}{\infty} \right) \left( \frac{x}{\infty-1} \right) \left( \frac{x}{\infty-2} \right) ... \left(\frac{x}{2} \right) \left( \frac{x}{1} \right) = (0)(0)(0) ... \left(\frac{x}{2} \right) \left( \frac{x}{1} \right) = 0 \] Es posible separar los límites porque todos existen, ya que de acuerdo con las propiedades de los límites si uno de ellos no existe no es posible separarlos. Así: \[ \lim_{n \to \infty } \frac{x^{n}}{n!} = 0 \]