1.2 Integral definida

1.2.3 Teorema fundamental del cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) establece una conexión entre las dos ramas del Cálculo: el Cálculo diferencial y el Cálculo integral. El Cálculo diferencial surgió del problema de la tangente y el Cálculo integral surgió del problema del área. Newton (1630-1677) descubrió que esos dos problemas se relacionan y se dio cuenta que la integral y la diferencial son procesos inversos.

El Teorema Fundamental del Cálculo dice que la derivada de la integral de una función es la misma función. Es decir, si una función \(f(x)\) es continua en el intervalo \([a,b]\), y \(x\) es cualquier punto dentro del intervalo, se puede definir \(F(x)\) como: \[ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \,dt \] entonces, de acuerdo al Teorema Fundamental del Cálculo: \[ F'(x) = f(x) \] Así, la integral de \(f(x)\) puede verse como la antiderivada o primitiva de esa función. La importancia de este Teorema, al que en ocasiones se denomina Primer Teorema Fundamental del Cálculo, reside en dos aspectos:

• Relaciona las dos principales nociones del cálculo, derivación e integración, demostrando que son procesos inversos. Esto significa que, si se integra una función continua, al derivarla después se recupera la función original.
• Proporciona un método simple para resolver muchas de las integrales definidas.

De este Teorema se desprende el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, conocido también como Regla de Barrow o Regla de Newton – Leibniz, que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitvas de la función. Esto es, dada una función \(f(x)\) continua en el intervalo \([a,b]\), si \(F(x)\) es una función primitiva de \(f(x)\), es decir: \[ F'(x) = f(x) \] entonces, tenemos que: \[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a) \]

Primer parte del Teorema Fundamental del Cálculo.

Ejemplo 1.

Sea \(f(x) = \frac{1}{x}\), continua en el intervalo \([1,5]\) y \(x\) un punto entre \(1\) y \(5\). Se puede definir: \(F(x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \,dt \), entonces \[ F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \,dt \right) = \frac{d}{dx} \left( \ln x - \ln 1 \right) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \] Como puede observarse, se cumple que: \[ F'(x) = f(x) \]

Ejemplo 2.

Dada \(f(x) = \cos(x)\), continua en el intervalo \([0,2\pi]\) y \(x\) un punto del intervalo. Se puede definir: \(F(x) = \int_{0}^{x} \cos(t) \,dt \), entonces \[ F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{x} \cos(t) \,dt \right) = \frac{d}{dx} \left[ \sin(x) - \sin(0) \right] = \cos(x) \] Como puede observarse, se cumple que: \[ F'(x) = f(x) \]

Segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo.

Ejemplo 1.

Dada \(f(x) = \sin(x)\), continua en el intervalo \([0,\pi]\), y además \(F(x) = - \cos(x) \) (antiderivada), entonces \[ \int_{0}^{\pi} f(x) \,dx = F(\pi) - F(0) \] Evaluando la integral tenemos que \[ \int_{0}^{\pi} \sin(x) \,dx = -\cos(\pi) - [-\cos(0)] \] \[ \Rightarrow -(-1) - [-(1)] = 1 + 1 = 2 \]

Ejemplo 2.

Si \(f(x) = \frac{dx}{x}\) es continua en el intervalo \([1,e]\) y además \(F(x) = \ln(x) \) (antiderivada), entonces \[ \int_{1}^{e} f(x) \,dx = F(e) - F(1) \] Evaluando la integral tenemos que \[ \int_{1}^{e} \frac{dx}{x} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \]