3.2 Series

3.2.2 Series especiales

3.2.2.1 Serie Geométrica.

Consideremos la serie: \[ a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^{n-1} + ... = \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} \] Donde \(a\) y \(r\) son números fijos y \(a \neq 0 \), ¿para qué valores de \(r\) la serie converge?

Para poder determinar si una serie converge lo que conocemos hasta ahora es la definición, entonces hay que determinar la sucesión de sumas parciales de la serie y hallar los valores de \(r\) para los cuales la sucesión de sumas parciales converge, y en consecuencia la serie. Considerando las sumas parciales: \[ S_{1} = a \] \[ S_{2} = a + ar \] \begin{align} S_{3} &= a + ar + ar^{2} \\ &\vdotswithin{=} \notag \\ S_{n} &= a + ar + ar^{2} + ... + ar^{n-1} \end{align} Al ser una serie general no podemos determinar de manera precisa cual es cada una de las sumas parciales, entonces, aplicaremos la siguiente estrategia para poder dar una expresión de la sucesión de sumas parciales. Comenzaremos multiplicando la n-ésima suma parcial \(S_{n}\) por \(r\): \[ rS_{n} = ar + ar^{2} + ar^{3} + ... + ar^{n} \] Ahora hagamos la diferencia de \( S_{n} - rS_{n} \) \[ S_{n} - rS_{n} = (a + ar + ar^{2} + ... + ar^{n-1}) - (ar + ar^{2} + ar^{3} + ... + ar^{n-1} + ar^{n}) \] \[ S_{n} - rS_{n} = a - ar^{n}\] \[ S_{n}(1-r) = a (1 - r^{n})\] \[ S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{(1-r)} \] De esta forma tenemos la expresión para la sucesión de sumas parciales:

\[ \bigg\{ S_{n} \bigg\} = \bigg\{ \frac{a (1 - r^{n})}{(1-r)} \bigg\} \] Determinemos para que valores de \(r\) converge la sucesión de sumas parciales, para esto debemos tomar en cuenta que la sucesión converge si \( \lim\limits_{n \to \infty} S_{n}\) existe. \[ \lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a (1 - r^{n})}{(1-r)} = \frac{a}{1-r} \lim_{n \to \infty} 1 - r^{n} \] \[ \Rightarrow \frac{a}{1-r} (\lim_{n \to \infty} 1 - \lim_{n \to \infty} r^{n}) = \frac{a}{1-r} (1 - \lim_{n \to \infty} r^{n} ) \] Ahora lo que debemos de hacer es hallar los valores de \(r\) para los cuales el límite \( \lim\limits_{n \to \infty} r^{n} \) existe. La respuesta a esto lo tenemos en uno de los teoremas de sucesiones:

Teorema. Sea \(\{ a_{n} \}\) una sucesión con \( a_{n} = r^{n} \) con \(r\) constante:

• i) \( \lim\limits_{n \to \infty} r^{n} = 0 \) si \( |r| \lt 1 \)


• ii) \( \lim\limits_{n \to \infty} r^{n} = \infty \) si \( |r| \gt 1 \)

Con lo cual si \( |r| \lt 1 \), entonces \( \lim\limits_{n \to \infty} r^{n} = 0 \), luego \[ \lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a}{1-r}(1 - \lim_{n \to \infty} r^{n} ) = \frac{a}{1-r}(1-0) = \frac{a}{1-r} \] Si \( |r| \gt 1 \), entonces \( \lim\limits_{n \to \infty} r^{n} = \infty \), luego \[ \lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{a}{1-r}(1 - \lim_{n \to \infty} r^{n} ) = \frac{a}{1-r}(1-\infty) = -\infty \] Al obtener \(- \infty \) la sucesión diverge. Nos falta determinar si la serie converge o diverge si \(|r| = 1\), esto es si \(r = \pm 1\).

Si \(r=1\), la serie es: \[ \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} a(1)^{n-1} = a + a + a + ... + a + ... \]

La sucesión de sumas parciales es: \[ S_{1} = a \] \[ S_{2} = a + a = 2a \] \begin{align} S_{3} &= a + a + a = 3a \\ &\vdotswithin{=} \notag \\ S_{n} &= a + a + a + ... + a = na \end{align} Calculando el límite de la sucesión de sumas parciales \[ \lim_{n \to \infty} na = a(\infty) = \infty \] Para \(r=1\) la serie diverge.

Para \( r = -1 \), la serie es: \[ \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} a(-1)^{n-1} = a - a + a - a + a +... + (-1)^{n-1} a + ... \] la sucesión de sumas parciales es: \[ S_{1} = a \] \[ S_{2} = a - a = 0 \] \[ S_{3} = a - a + a = a \] \[ S_{4} = a - a + a - a = 0 \] Como podemos apreciar, la sucesión de sumas parciales es: \[ {a, 0, a, 0, ...}\] Esta sucesión se puede dividir en dos sub-sucesiones donde una de ellas converge a \(a\) y la otra converge a \(0\), como las sucesiones convergen a un valor distinto, decimos que la sucesión diverge. Entonces, para \( r = -1 \) la serie diverge.

Por lo tanto, la serie converge si \(|r| \lt 1\) y su suma es \( \displaystyle\frac{a}{1-r} \), esto es: \[ \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r} \] Hemos demostrado el teorema siguiente.

Observación. Otra opción para representar la serie geométrica es \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} ar^{n} \). Una forma de identificar la serie geométrica es con su representación explícita o desarrollada, esto es mediante la suma de sus elementos.

Ejemplo 1. Serie geométrica

Determinar si la serie geométrica converge o diverge, si converge calcular su suma. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{9} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \] Como podemos observar, la serie presenta la forma \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} \), así que se tiene que: \[ a = \frac{1}{9}, r = \frac{1}{3}, \;luego\; |r| = \frac{1}{3} \lt 1 \] Por lo tanto, decimos que la serie converge y su suma es: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{9} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = \frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}\] Resumiendo, la serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{9} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \) converge y su suma es \( \frac{1}{6} \)

Ejemplo 2. Serie geométrica

Determinar si la serie geométrica converge o diverge, si converge calcular su suma. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5(-1)^{n}}{4^{n}} \] Como podemos observar, la serie no tiene la forma \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} \), entonces, busquemos una forma de modificarla para que tenga la forma de la serie geométrica. Como el exponente tiene que ser \(n-1\), podemos aplicar las leyes de los exponentes, tal que así: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5(-1)^{(n-1)+1}}{4^{(n-1)+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5(-1)(-1)^{n-1}}{(4)(4)^{n-1}} \] Asociando términos comunes: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{-5}{4} \right) \frac{(-1)^{(n-1)}} {4^{(n-1)}} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{-5}{4} \right) \left( \frac{-1}{4} \right)^{n-1} \] La serie ahora ya tiene la forma principal de la serie geométrica con: \[ a = -\frac{5}{4} , r = -\frac{1}{4}, \;luego\; |r| = \frac{1}{4} \lt 1 \] Por lo tanto, decimos que la serie converge y su suma es: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5(-1)^{n}}{4^{n}} = \frac{-\frac{5}{4}}{1-\left( -\frac{1}{4} \right)} = \frac{-\frac{5}{4}}{\frac{5}{4}} = -1 \] Resumiendo, la serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{5(-1)^{n}}{4^{n}} \) converge y su suma es \( -1 \)

Ejemplo 3. Serie geométrica

Determinar si la serie geométrica converge o diverge, si converge calcular su suma. \[ \sum_{n=1}^{\infty} (2)^{2n} 3^{1-n} \] Como podemos observar, la serie no tiene la forma \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} \), entonces, busquemos una forma de modificarla para que tenga la forma de la serie geométrica. Como el exponente tiene que ser \(n-1\), podemos aplicar las leyes de los exponentes, tal que así: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (2)^{2n} 3^{1-n} = \sum_{n=1}^{\infty} (2^{2})^{n} 3^{-(n-1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2^{2})^{n}}{3^{(n-1)}} \] \[ \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n}{3^{(n-1)}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 (4)^{n-1}}{3^{(n-1)}} = \sum_{n=1}^{\infty} 4 \left( \frac{4}{3} \right)^{n-1} \] La serie ahora ya tiene la forma principal de la serie geométrica con: \[ a = 4 , r = \frac{4}{3}, \;luego\; |r| = \frac{4}{3} \gt 1 \] Por lo tanto, decimos que la serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} (2)^{2n} 3^{1-n} \) diverge.

Ejemplo 4. Serie geométrica

Determinar si la serie geométrica converge o diverge, si converge calcular su suma. \[0.6 + 0.06 + 0.006 + ⋯ + \frac{6}{10^n} + ⋯ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{10^n} \] Como podemos observar, la serie no tiene la forma \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} \), entonces, busquemos una forma de modificarla para que tenga la forma de la serie geométrica. Como el exponente tiene que ser \(n-1\), podemos aplicar las leyes de los exponentes, tal que así: \[ \sum_{n=1}^{\infty} 6 \frac{1}{10^n} = \sum_{n=1}^{\infty} 6 \left(\frac{1}{10} \right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} 6 \left( \frac{1}{10} \right) \left(\frac{1}{10} \right)^{n-1} \] \[ \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{6}{10} \right) \left(\frac{1}{10} \right)^{n-1} \] La serie ahora ya tiene la forma principal de la serie geométrica con: \[ a = \frac{6}{10} , r = \frac{1}{10}, \;luego\; |r| = \frac{1}{10} \lt 1 \] Por lo tanto, decimos que la serie converge y su suma es: \[0.6 + 0.06 + 0.006 + ⋯ + \frac{6}{10^n} + ⋯ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{10^n} \] \[ \Rightarrow \frac{\frac{6}{10}}{1 - \left( \frac{1}{10} \right)} = \frac{\frac{6}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \] Resumiendo, la serie: \[ 0.6 + 0.06 + 0.006 + ⋯ + \frac{6}{10^n} + ⋯ = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{6}{10^n} \] converge y su suma es \( \frac{2}{3} \)

Ejemplo 5. Serie geométrica

Escribe el número \(2.3171717...\) como una razón de números enteros. Podemos descomponer el número como la suma de un número racional y una serie, esto es: \[ 2.3171717 ⋯ = 2.3 + 0.0171717 ⋯ = \frac{23}{10} + \frac{17}{10^3} + \frac{17}{10^5} + \frac{17}{10^7} + ⋯ \] \[ 2.3171717 ⋯ = \frac{23}{10} + \frac{17}{10^3} \left( 1 + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^4} + ⋯ \right) \] La serie es: \[ 1 + \frac{1}{10^{2}} + \frac{1}{10^{4}} + \frac{1}{10^{6}} + ⋯ + \frac{1}{10^{2n}} + ⋯ \] \[ \Rightarrow 1 + \frac{1}{(10^2)^1} + \frac{1}{(10^2)^2} + \frac{1}{(10^2)^3} + ⋯ + \frac{1}{(10^2)^{n-1}} + \frac{1}{(10^2)^{n}} + ⋯ \] \[ \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(10^2)^{n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{10^2} \right)^{n-1} \] La serie ahora ya tiene la forma principal de la serie geométrica con: \[ a = 1 , r = \frac{1}{10^2}, \;luego\; |r| = \frac{1}{10^2} \lt 1 \] Por lo tanto, decimos que la serie converge y su suma es: \[ 1 + \frac{1}{10^{2}} + \frac{1}{10^{4}} + \frac{1}{10^{6}} + ⋯ + \frac{1}{10^{2n}} + ⋯ = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{10^2} \right)^{n-1} \] \[ \Rightarrow \frac{1}{1-\left( \frac{1}{100} \right)} = \frac{1}{\frac{99}{100}} = \frac{100}{99} \] Luego entonces: \[ 2.3171717 ⋯ = \frac{23}{10} + \frac{17}{10^3} \left( 1 + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^4} + ⋯ \right) \] Sustituyendo el valor de la suma de la serie geométrica tenemos que: \[ \Rightarrow \frac{23}{10} + \frac{17}{10^3} \left( \frac{100}{99} \right) = \frac{23}{10} + \frac{17}{990} = \frac{1147}{495} \] Concluimos que el número \(2.3171717\) expresado como una razón de enteros es \( \displaystyle\frac{1147}{495} \)

3.2.2.2 Serie Armónica.

Definición. La serie armónica es la serie infinita divergente. \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} + ⋯ = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \] Serie armónica solo se tiene una, la que se define.

3.2.2.3 Serie Telescópica.

Se le llama de esta forma a la serie que tiene como característica que puede expresarse como una diferencia, de tal modo que la sucesión de sumas parciales queda definida por el primer y el último término.

Determinar si la serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) converge o diverge. Si converge calcula su suma. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{1(2)} + \frac{1}{2(3)} + \frac{1}{3(4)} + ⋯ + \frac{1}{n(n+1)} + ⋯ \] \[ \Rightarrow S_{n} = \frac{1}{1(2)} + \frac{1}{2(3)} + \frac{1}{3(4)} + ⋯ + \frac{1}{n(n+1)} \] Podríamos tratar de determinar una expresión para la sucesión de sumas parciales de la serie, pero nos interesa ilustrar un tipo de serie específico, así que busquemos la forma de representarla como una resta, por el tipo de función podemos aplicar fracciones parciales. \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} = \frac{A(n+1)+Bn}{n(n+1)} = \frac{(A+B)n+A}{n(n+1)} \] \[ A + B = 0 \Rightarrow A = -B\] \[ A = 1 \;y\; B = -1 \] \[ \Rightarrow \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Luego entonces: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \] Ahora, determinaremos la sucesión de sumas parciales de la serie, con la diferencia obtenida: \[ S_{n} = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + ⋯ \] \[ + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \] Simplificando los términos comunes nos queda que: \[ S_{n} = 1 - \frac{1}{n+1} \] De este modo ya obtuvimos una expresión para la sucesión de sumas parciales, determinemos si converge. \[ \lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - \frac{1}{\infty+1} = 1 - 0 = 1 \] La sucesión de sumas parciales de la serie converge. Por lo tanto, la serie converge y su suma es \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1 \]