4.1 Series de Potencias
4.1.1 Introducción
Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de \(x\). \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a(x-c)^{n} \] Cuyo dominio es el conjunto de las \( x \in R \) para los que la serie es convergente y el valor de \(f(x)\) es, precisamente, la suma de la serie en ese punto \(x\).
Las series de potencias, vistas como funciones, son funciones continuas y derivables de cualquier orden. Más aún, su función derivada es, otra vez, una serie de potencias. Desde un punto de vista más práctico, las series de potencias aproximan a su función suma, es decir, la suma parcial de orden \(n\), que no es más que un polinomio de grado \(n\) a lo sumo, representa una aproximación a la función suma en su dominio de convergencia.
Una serie de potencias alrededor de \(x=0\) es una serie de la forma: \[ \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1}x + c_{2}x^{2} + ⋯ + c_{n}x^{n} + ⋯ \] donde los coeficientes \( c_{0}, c_{1}, c_{2}, ..., c_{n} \) son constantes.
Una serie de potencias alrededor de \(x=a\) es una serie de la forma: \[ \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} (x-a)^{n} = c_{0} + c_{1}(x-a) + c_{2}(x-a)^{2} + \] \[ ⋯ + c_{n}(x-a)^{n} + ⋯ \] donde el centro \(a\) y los coeficientes \( c_{0}, c_{1}, c_{2}, ..., c_{n} \) son constantes.
Si en la serie de potencias alrededor \(x=0\) consideramos que \( c_{0} = c_{1} = c_{2} = ... = c_{n} = 1 \), entonces: \[ \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} = 1 + x^{2} + ⋯ + x^{n} + ⋯ \] La cual es una serie geométrica con \(a=1\) y \(r=x\), por lo que converge para \(|x| \lt 1\) y diverge si \(|x| \geq 1\) y su suma es \( \displaystyle\frac{1}{1-x} \)
Así una serie de potencias puede ser convergente para unos valores y divergente para otros, por lo que surge la interrogante: ¿Cómo determinamos para que valores converge una serie de potencias?