3.4 Series Alternantes
3.4.1 Introducción
Hasta este momento hemos visto el concepto de serie, la determinación de la convergencia y divergencia de una serie especial además de las series de términos positivos, pero no todas las series son de términos positivos, por lo cual nos centraremos en este caso en las series que tienen signos positivo y negativo de manera alterna y en series que tienen tanto signos positivos como negativos, estas últimas tienen sus limitaciones para la convergencia y divergencia de una serie.
Decimos que una serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) es una serie alternante si cambian de signo sus términos de manera alternada, esto es \[ a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{n} + ⋯ \] \[ = b_{1} - b_{2} + b_{3} - b_{4} + b_{5} - b_{6} + ⋯ + (-1)^{n-1} b_{n} \] Con \(b_{i} \gt 0\), así, una serie alternada se representa como: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_{n} \]
Ejemplos de Series Alternantes
Son series alternantes las siguientes: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}, \; \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n+1}{n}, \; \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{2^{n-1}} \] Pero también lo son: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{n+1}, \; \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} 3^{n-1}, \; \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{4}{2^{n}} \] \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n!}, \; \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cos{n} \] La característica principal de una serie alternante es que los signos negativo y positivo se tienen de manera alternada no importando si se inicia con el positivo o el negativo. Sin embargo, se usa más el empezar con el signo positivo y la notación: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_{n} \]