3.2 Series

3.2.1 Serie infinita

Consideremos la sucesión \( \bigg\{ \displaystyle\frac{1}{2^{n-1}} \bigg\} \), esto es: \[ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, ..., \frac{1}{2^{n-1}} \] Y consideremos las sumas parciales \(S_{n}\) de \(n\) términos de la sucesión:

\[ S_{1} = 1 \] \[ S_{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] \[ S_{3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \] \[ S_{4} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{15}{8} \] \begin{align} S_{5} &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{31}{16} \\ &\vdotswithin{=} \notag \\ S_{n} &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n-1}} \end{align} Para poder determinar el valor de la suma n-ésima, veamos el patrón que se tiene a lo largo de las sumas parciales obtenidas. Primero, tomaremos los denominadores iniciando por el penúltimo que calculamos \(16\), notamos que este denominador siempre coincide con el denominador del último término que se suma, de modo que para la suma n-ésima el denominador será: \( \displaystyle\frac{1}{2^{n-1}} \), para el caso del numerador vemos que los numeradores son: \(31, 15, 7, 3, 1\), correspondiendo a \(31\) con \(15\); \(15\) con \(8\), \(7\) con \(4\), \(3\) con \(2\). La relación entre ellos es que el valor del numerador es igual al doble del denominador menos uno, por lo que el numerador queda expresado como: \( (2 \times 2^{n-1} ) - 1 = 2^{n} - 1 \)

Luego, la suma n-ésima quedaría de la siguiente manera: \[ S_{n} = \frac{2^{n} - 1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}} \] Entonces las sumas parciales constituyen la siguiente sucesión: \[ 1, \frac{3}{2}, \frac{7}{4}, \frac{15}{8}, \frac{31}{16}, ..., 2 - \frac{1}{2^{n-1}} \] Observamos que el término n-ésimo de esta sucesión es: \( 2 - \displaystyle\frac{1}{2^{n-1}} \)

Para saber si esta sucesión de sumas parciales \( \bigg\{ S_{n} \bigg\} \) converge o diverge calculamos su límite: \[ \lim_{n \to \infty } S_{n} = \lim_{n \to \infty } 2 - \frac{1}{2^{n-1}} = 2 - \frac{1}{2^{\infty-1}} = 2 \] Encontramos que la sucesión de sumas parciales converge a \(2\), esto implica que la suma infinita vale \(2\), esto es: \[ 1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \frac{15}{8} + \frac{31}{16} + ... + \left( 2 - \frac{1}{2^{n-1}} \right) + ... = 2 \] Notemos que la sucesión original \[ \bigg\{ \frac{1}{2^{n-1}} \bigg\} = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, ..., \frac{1}{2^{n-1}} \] Converge si el límite existe, entonces: \[ \lim_{n \to \infty } a_{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1}{2^{\infty}} = 0 \] Por lo tanto, la sucesión original \( \bigg\{ \displaystyle\frac{1}{2^{n-1}} \bigg\} \) converge a \(0\).

Definición. Dada una sucesión de números \( \bigg\{ a_{n} \bigg\} \), una expresión de la forma \[ a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n} + ... \] se denomina serie infinita o simplemente serie.

La sucesión \( \bigg\{ S_{n} \bigg\} \) definida como: \[ S_{1} = a_{1} \] \[ S_{2} = a_{1} + a_{2} \] \begin{align} S_{3} &= a_{1} + a_{2} + a_{3} \\ &\vdotswithin{=} \notag \\ S_{n} &= a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n} \end{align} Se trata de la sucesión de sumas parciales de la serie, donde \(S_{n}\) denota la n-ésima suma parcial. Si la sucesión de sumas parciales converge a un límite \(L\), decimos que la serie converge y que su suma es \(L\), y en este caso escribimos: \[ a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n} + ... = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = L \] Si la sucesión de sumas parciales \( \bigg\{ S_{n} \bigg\} \) no tiene límite decimos que la serie diverge.

Notación: la serie \( a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n} + ... \) se representa por \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) o por \( \sum a_{n} \).