3.3 Criterios de Convergencia
3.3.3 Serie Hiperarmónica o Serie P
La serie hiperarmónica o serie \(P\), definida como \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = 1 + \frac{1}{2^p} + \frac{1}{3^p} + ⋯ + \frac{1}{n^p} + ⋯ \] Converge si \(p \gt 1\) y diverge si \( p \leq 1 \).
Demostración.
Usemos el criterio de la integral para demostrarlo. Sea \(p\) un número real positivo y \(f(x) = \displaystyle\frac{1}{x^p} = x^{-p} \), verifiquemos que cumple con las condiciones del criterio.
Positiva. \( \; f(x) = \displaystyle\frac{1}{x^p} = x^{-p} \; \) es positiva siempre que \(x \geq 1\)
Continua. \( \; f(x) = \displaystyle\frac{1}{x^p} = x^{-p} \; \) no es continua si \(x=0\), es decir, es continua para \(x \geq 1 \).
Decreciente. Calculemos la derivada: \[ f'(x) = -px^{-p-1} = - \frac{p}{x^{p+1}} \] Si \( x \geq 1 \) entonces \(f'(x) \lt 0\), por lo que la función \( \; f(x) = \displaystyle\frac{1}{x^p} = x^{-p} \; \) es decreciente para \(x \geq 1 \).
Se concluye que \(f(x)\) es positiva, continua y decreciente para \( x \geq 1 \), ahora calculemos la integral impropia. \[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} \,dx = \lim_{b \to \infty} \frac{x^{-p+1}}{-p+1} \bigg|_{1}^{b} \] \[ \Rightarrow \lim_{b \to \infty} \frac{b^{-p+1}}{-p+1} - \frac{1^{-p+1}}{-p+1} = \lim_{b \to \infty} \frac{b^{-p+1}}{-p+1} - \frac{1}{-p+1} \] \[ \Rightarrow \frac{1}{-p+1} \left( \left(\lim_{b \to \infty} b^{-p+1} \right) - 1 \right) \] Determinando el límite tenemos que: \[ \lim_{b \to \infty} b^{-p+1} = \infty^{-p+1} \] Vemos que dependiendo del exponente será el resultado, ya que no se obtiene el mismo resultado si el exponente es positivo o negativo, analicemos esto. \[ Caso\;I. \; Si \; -p+1 \gt 0 \Rightarrow -p \gt -1 \Rightarrow p \lt 1 \] Para este caso el límite es igual a: \[ \lim_{b \to \infty} b^{-p+1} = \infty^{-p+1} = (\infty)^{numero\,positivo} \] Asimismo, la integral impropia \( \int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} \,dx \) diverge. \[ Caso\;II. \; Si \; -p+1 \lt 0 \Rightarrow -p \lt -1 \Rightarrow p \gt 1 \] Para este caso el límite es igual a: \[ \lim_{b \to \infty} b^{-p+1} = \infty^{-p+1} = (\infty)^{numero\,negativo} \] Es conveniente que los exponentes sean siempre positivos, por lo que tomando el caso que \( p \gt 1\) tenemos que: \[ \lim_{b \to \infty} b^{-p+1} = \lim_{b \to \infty} \frac{1}{b^{-(-p+1)}} = \frac{1}{(\infty)^{-(numero\,negativo)}} \] \[ \Rightarrow \frac{1}{(\infty)^{(numero\,positivo)}} = \frac{1}{\infty} = 0 \] Y por tanto la integral impropia: \[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} \,dx = \frac{1}{1-p} \left( \left(\lim_{b \to \infty} b^{1-p} \right) - 1 \right) \] \[ \Rightarrow \frac{1}{1-p} (0-1) = -\frac{1}{1-p} = \frac{1}{p-1} \] La integral impropia converge, así por el criterio de la integral se concluye que la serie \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \; converge \] Nos hace falta analizar un último caso: \[ Caso\;III. \; Si \; -p+1 = 0 \Rightarrow -p = -1 \Rightarrow p = 1 \] Entonces, tomando que \( p = 1\) la serie quedaría como: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\] Es decir la serie armónica y ya demostramos que diverge. Por lo tanto la serie hiperarmónica o serie p
- Converge si \(p \gt 1\)
- Diverge si \(p \leq 1\)
Ejemplo 1.
Determinar si la serie dada converge o diverge. \[ 1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \] Se trata de una serie hiperarmónica con \( p = 2 \), como \(p \gt 1\), se concluye que la serie es convergente.
Ejemplo 2.
Determinar si la serie dada converge o diverge. \[ 2. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{\sqrt{n}} \] Esta serie también se puede representar como: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{\sqrt{n}} = 5 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} \] La cual es una serie hiperarmónica con \(p = \frac{1}{2} \) y como \(p \lt 1\), se concluye que la serie es divergente.
Observación. La serie hiperarmónica o serie \(p\), no es una serie especial, sin embargo, nos da una forma de determinar de manera directa la convergencia o divergencia de una serie.