4.2 Series de Taylor y McLaurin
4.2.1 Serie de Taylor
La Serie de Taylor es una serie funcional que surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
¿Para qué sirve? La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir la aproximación.
¿Cómo funciona? La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se está buscando.
En series de potencias representamos una serie como una función con derivadas de todos los órdenes, pero ¿es posible representar una función como una serie de potencias? Veamos esto a continuación:
Supongamos que la función \(f(x)\) es la suma de una serie de potencias, esto es: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n} = c_{0} + c_{1}(x-a) + c_{2}(x-a)^{2} + ⋯ + c_{n}(x-a)^{n} \]
Las derivadas de \(f(x)\) son: \[ f'(x) = c_{1} + 2\;c_{2}(x-a) + 3\;c_{3}(x-a)^{2} + ⋯ + n\;c_{n}(x-a)^{n-1} \] \[ f''(x) = 2\;c_{2} + 6\;c_{3}(x-a) + 12\;c_{4}(x-a)^{2} + ⋯ + n(n-1)\;c_{n}(x-a)^{n-2} \] \[ f''(x) = 6\;c_{3} + 24\;c_{4}(x-a) + 60\;c_{5}(x-a)^{2} + ⋯ + n(n-1)(n-2)\;c_{n}(x-a)^{n-3} \] De este modo tenemos que: \[ f^{n}(x) = n!\,c_{n} \] Evaluando en \(x=a\), tenemos: \[ f(a) = c_{0}, f'(a) = c_{1}, f''(a) = 2c_{2}, f'''(a) = 6c_{3} = 3!\,c_{3} \Rightarrow f^{n}(a) = n! \, c_{n} \] De donde se tiene que: \[ c_{1} = f'(a), c_{2} = \frac{f''(a)}{2!}, c_{3} = \frac{f'''(a)}{3!}, ⋯, c_{n} = \frac{f^{n}(a)}{n!} \] Estos deben de ser los coeficientes de la serie de potencias que representa a la función \(f(x)\), por lo tanto: \[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2} + \frac{f'''(a)}{3!} (x-a)^{3} + ⋯ + \frac{f^{n}(a)}{n!} (x-a)^{n} \] Con esto, hemos encontrado los coeficientes de la función que la representan como una serie de potencias, lo cual queda planteado en el teorema siguiente.
Si la función \(f\) tiene una representación en forma de serie de potencias en \(a\), esto es si: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} (x-a)^{n} \;con\; |x-a| \lt R \] Los coeficientes están expresados por la fórmula: \[ c_{n} = \frac{f^{n}(a)}{n!} \] \[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2} + \] \[ \frac{f'''(a)}{3!} (x-a)^{3} + ⋯ + \frac{f^{n}(a)}{n!} (x-a)^{n} \] Esta serie se denomina Serie de Taylor de la función en \(a\) (alrededor de \(a\) o centrada en \(a\)).
Ejemplo 1.
Hallar la Serie de Taylor generada por la función \( f(x) = \displaystyle\frac{1}{x} \) alrededor del punto \(a=1\). Como primer paso calcularemos las derivadas de la función y las evaluaremos en el punto dado.
| Derivadas | ||
| Derivada de la función | \(f(a)\) | Valor de la función |
| \( f(x) = \frac{1}{x} \) | \( f(1) = \frac{1}{1} = 1 \) | \( f(1) = 1 \) |
| \( f'(x) = -\frac{1}{x^{2}} \) | \( f'(1) = -\frac{1}{1^{2}} = - 1 \) | \( f'(1) = - 1 \) |
| \( f''(x) = \frac{2}{x^{3}} \) | \( f''(1) = \frac{2}{1^{3}} = 2 \) | \( f''(1) = 2 \) |
| \( f'''(x) = - \frac{6}{x^{4}} \) | \( f'''(1) = - \frac{6}{1^{4}} = -6 \) | \( f'''(1) = -6 \) |
| \( f^{IV}(x) = \frac{24}{x^{5}} \) | \( f^{IV}(1) = \frac{24}{1^{5}} = 24 \) | \( f^{IV}(1) = 24 \) |
| : | : | : |
| \( f^{n}(x) = (-1)^{n} \frac{n!}{x^{n+1}} \) | \( f^{n}(1) = (-1)^{n} \frac{n!}{1^{n+1}} \) | \( f^{n}(1) = (-1)^{n}n! \) |
Así entonces se tiene que: \[ \frac{1}{x} = 1 - 1(x-1) + \frac{2(x-1)^{2}}{2!} - \frac{6(x-1)^{3}}{3!} + \] \[ \frac{24(x-1)^{4}}{4!} + ⋯ + \frac{(-1)^{n}\,n!\,(x-1)^{n}}{n!} + ⋯ + \] Simplificando tenemos que: \[ \frac{1}{x} = 1 - 1(x-1) + (x-1)^{2} - (x-1)^{3} + \] \[ (x-1)^{4} + ⋯ + (-1)^{n}(x-1)^{n} + ⋯ + \] Así la serie de Taylor es: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}(x-1)^{n} \]
Ejemplo 2.
Hallar la Serie de Taylor generada por la función \( f(x) = \sin{x} \) alrededor del punto \(a = \displaystyle\frac{\pi}{4} \).
| Derivadas | ||
| Derivada de la función | \(f(a)\) | Valor de la función |
| \( f(x) = \sin{x} \) | \( f(\frac{\pi}{4}) = \sin{(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) |
| \( f'(x) = \cos{x} \) | \( f'(\frac{\pi}{4}) = \cos{(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) |
| \( f''(x) = -\sin{x} \) | \( f''(\frac{\pi}{4}) = -\sin{(\frac{\pi}{4})} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( f''(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) |
| \( f'''(x) = -\cos{x} \) | \( f'''(\frac{\pi}{4}) = -\cos{(\frac{\pi}{4})} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( f'''(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) |
| \( f^{IV}(x) = \sin{x} \) | \( f^{IV}(\frac{\pi}{4}) = \sin{(\frac{\pi}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( f^{IV}(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) |
| ⋯ | ⋯ | \( f^{V}(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) |
| ⋯ | ⋯ | \( f^{VI}(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) |
| ⋯ | ⋯ | \( f^{VII}(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) |
| : | : | : |
| \( f^{n} (\frac{\pi}{4}) = (-1)^{m} \frac{\sqrt{2}}{2} \) | ||
Determinemos la Serie de Taylor: \[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2} + \frac{f'''(a)}{3!} (x-a)^{3} + ⋯ + \frac{f^{n}(a)}{n!} (x-a)^{n} \] \[ f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \left( x - \frac{\pi}{4} \right) - \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^2 - \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{3!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^3 + \] \[ + \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{4!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^4 + \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{5!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^5 - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{6!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^6 + ⋯ \] Se puede observar que en el término general se tienen los coeficientes \( \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \), \(\displaystyle\frac{1}{n!} \) y el factor \(\left( x - \displaystyle\frac{\pi}{4} \right)\), pero no podemos determinar de manera única el signo, por lo que podemos considerar que el término general es:
\[ (-1)^{m} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{n!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{n} \] Para algún \(m\) entero. Luego suponemos la serie de Taylor queda como sigue: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \left( x - \frac{\pi}{4} \right) - \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^2 - \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{3!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^3 + \] \[ + \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{4!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^4 + \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{5!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^5 + ⋯ \] \[ + (-1)^{p} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{(n-1)!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{n-1} + (-1)^{m} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{n!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{n} + ⋯ \] Como en todos los términos está el coeficiente \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\) este puede factorizarse, teniendo: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \bigg( 1 + \left( x - \frac{\pi}{4} \right) - \frac{1}{2!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{2} - \frac{1}{3!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{3} + \frac{1}{4!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{4} + ⋯ \] \[ + \frac{1}{5!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{5} + ⋯ + (-1)^{p} \frac{1}{(n-1)!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{n-1} + (-1)^{m} \frac{1}{n!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{n} \bigg) \] Agrupando los términos de potencia par e impar tenemos. \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \Bigg( \bigg( 1 - \frac{1}{2!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{2} + \frac{1}{4!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{4} - \frac{1}{6!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{6} + ⋯ \bigg)\] \[ + \bigg( \left( x - \frac{\pi}{4} \right) - \frac{1}{3!}\left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{3} + \frac{1}{5!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{5} - \frac{1}{7!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{7} + ⋯ \bigg) \Bigg) \]
Al realizar este proceso podemos determinar un término general para cada uno de ellos. \[ Potencia\;par:\; (-1)^{n} \frac{1}{(2n)!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{2n} \] \[ Potencia\;impar:\; (-1)^{n} \frac{1}{(2n+1)!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{2n+1} \] En esta expresión se puede apreciar una forma general definida para determinar el término n-ésimo. Por lo que el término general de la serie de Taylor es:
\[ (-1)^{n} \frac{1}{(2n)!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{2n} + (-1)^{n} \frac{1}{(2n+1)!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{2n+1} \] \[ = (-1)^{n} \left( \frac{1}{(2n)!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{2n} + \frac{1}{(2n+1)!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{2n+1} \right) \] Por lo que serie de Taylor es: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left( \frac{1}{(2n)!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{2n} + \frac{1}{(2n+1)!} \left( x - \frac{\pi}{4} \right)^{2n+1} \right) \]