4.2 Series de Taylor y McLaurin
4.2.2 Serie de McLaurin
Si \(f\) es una función tal que \( f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \) para toda \(x\) en un intervalo abierto \( (-r, r) \), entonces: \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^{2} + \frac{f'''(0)}{3!}x^{3} + ⋯ \] \[ + \frac{f^{n}}{n!}x^{n} + ⋯ \] La Serie de McLaurin puede verse como el caso especial en el que se determina la Serie de Taylor con \( a = 0 \).
Ejemplo 1.
Determinar la serie de McLaurin para la función \( f(x) = \sin{x} \). Empecemos determinando las derivadas de la función, así como el valor de estas en el punto donde \(x=0\).
| Derivadas | ||
| Derivada de la función | \(f(a)\) | Valor de la función |
| \( f(x) = \sin{x} \) | \( f(0) = \sin{(0)} = 0 \) | \( f(0) = 0 \) |
| \( f'(x) = \cos{x} \) | \( f'(0) = \cos{(0)} = 1 \) | \( f'(0) = 1 \) |
| \( f''(x) = -\sin{x} \) | \( f''(0) = -\sin{(0)} = 0 \) | \( f''(0) = 0 \) |
| \( f'''(x) = - \cos{x} \) | \( f'''(0) = - \cos{(0)} = -1 \) | \( f'''(0) = -1 \) |
| \( f^{IV}(x) = \sin{x} \) | \( f^{IV}(0) = \sin{(0)} = 0 \) | \( f^{IV}(0) = 0 \) |
| \( f^{V}(x) = \cos{x} \) | \( f^{V}(0) = \cos{(0)} = 1 \) | \( f^{V}(0) = 1 \) |
| \( f^{VI}(x) = - \sin{x} \) | \( f^{VI}(0) = - \sin{(0)} = 0 \) | \( f^{VI}(0) = 0 \) |
| \( f^{VII}(x) = - \cos{x} \) | \( f^{VII}(0) = - \cos{(0)} = -1 \) | \( f^{VII}(0) = -1 \) |
| : | : | : |
| \[ f^{n}(1) = \begin{cases} 0 \\ (-1)^{m} \end{cases} \] | ||
En este caso no es posible determinar de manera única cual es la derivada de manera general ya que hay tres casos posibles, cuando el punto evaluado en la derivada vale \(0\), \(1\) y \(-1\). Teniendo esta tabla y los casos posibles, procedemos a determinar la Serie de McLaurin: \[ f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^{2} + \frac{f'''(0)}{3!}x^{3} + ⋯ + \frac{f^{n}}{n!}x^{n} + ⋯ \] Sustituyendo se tiene que: \[ 0 + x + \frac{0}{2!}x^{2} - \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{0}{4!}x^{4} + \frac{1}{5!}x^{5} + \frac{1}{6!}x^{6} - \frac{1}{7!}x^{7} + ⋯ \] No podemos determinar el término general a partir de la derivada n-ésima, pero al eliminar los términos que son cero obtenemos: \[ x - \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{5!}x^{5} - \frac{1}{7!}x^{7} + \frac{1}{9!}x^{9} + ⋯ \] Con esta última expresión para la serie, se puede apreciar una forma para el término general, quedando como sigue: \[ x - \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{5!}x^{5} - \frac{1}{7!}x^{7} + ⋯ + (-1)^{n} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1} + ⋯ \] Con lo cual la serie de McLaurin es: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1} \]
Ejemplo 2.
Determinar la Serie de McLaurin para la función \( f(x) = (1+x)^{-3} \). Empecemos determinando las derivadas de la función y evaluémoslas en \(x=0\).
| Derivadas | ||
| Derivada de la función | \(f(a)\) | Valor de la función |
| \( f(x) = (1+x)^{-3} \) | \( f(0) = (1+0)^{-3} = 1 \) | \( f(0) = 1 \) |
| \( f'(x) = -3(1+x)^{-4} \) | \( f'(0) = -3(1+0)^{-4} = -3 \) | \( f'(0) = -3 \) |
| \( f''(x) = 12(1+x)^{-5} \) | \( f''(0) = 12(1+0)^{-5} = 12 \) | \( f''(0) = 12 \) |
| \( f'''(x) = - 60(1+x)^{-6} \) | \( f'''(0) = - 60(1+0)^{-6} = -60 \) | \( f'''(0) = - 60 \) |
| \( f^{IV}(x) = 360(1+x)^{-7} \) | \( f^{IV}(0) = 360(1+0)^{-7} = 360 \) | \( f^{IV}(0) = 360 \) |
| : | : | : |
| \[ f^{n}(x) = (-1)^{n} \frac{(n+2)!}{2} (1+x)^{-(n+3)} \] | \[ f^{n}(0) = (-1)^{n} \frac{(n+2)!}{2} (1+0)^{-(n+3)} = (-1)^{n} \frac{(n+2)!}{2} \] | \[ f^{n}(0) = (-1)^{n} \frac{(n+2)!}{2} \] |
Determinando la Serie de McLaurin: \[ f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^{2} + \frac{f'''(0)}{3!}x^{3} + ⋯ + \frac{f^{n}}{n!}x^{n} + ⋯ \] Sustituyendo se tiene que: \[ 1 - 3x + \frac{12}{2!}x^{2} - \frac{60}{3!}x^{3} + \frac{360}{4!}x^{4} + ⋯ + \frac{(-1)^{n} \frac{(n+2)!}{2}}{n!} x^{n} + ⋯ \] Simplificando el término general tenemos que: \[ \frac{(-1)^{n}\frac{(n+2)!}{2}}{n!} x^{n} = (-1)^{n} \frac{ (n+1)(n+2)\;n!}{2\;n!}x^{n} = (-1)^{n} \frac{ (n+1)(n+2)}{2}x^{n} \] Realizando las operaciones indicadas se tiene que: \[ 1 - 3x + 6x^{2} - 10x^{3} + 15x^{4} + ⋯ + (-1)^{n} \frac{ (n+1)(n+2)}{2} x^{n} + ⋯ \]
Con lo cual la serie de McLaurin es: \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{ (n+1)(n+2)}{2} x^{n} \]