4.1 Series de Potencias
4.1.2 Radio e intervalo de convergencia de una serie de potencias
Para una serie de potencias dada \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n} (x-a)^{n} \) solo hay tres posibilidades:
- i) La serie converge cuando \(x=a\)
- ii) La serie converge para toda \(x\)
- iii) Hay un número positivo \(R\) tal que la serie converge si \(|x-a| \lt R\) y diverge si \(|x-a| \gt R\), la serie puede converge o no en \(|x-a| = R\)
El número \(R\) se denomina radio de convergencia de la serie de potencias. En (i) el radio de convergencia es \(R=0\) y en (ii) el radio de convergencia es \(R=\infty\)
📖 Observación. El intervalo de convergencia de una serie de potencias consta de todos los valores de \(x\) para los cuales la serie converge. Cabe aclarar que para determinar el radio e intervalo de convergencia de una serie de potencias, generalmente se emplea el criterio de la razón para la convergencia absoluta.
Ejemplo 1.
Determinar el radio e intervalo de convergencia de la serie de potencias: \[ 1. \sum_{n=0}^{\infty} n!\,x^{n} \] \[ a_{n} = n!\,x^{n} \;\;y\;\; a_{n+1} = (n+1)!\,x^{n+1} \] \[ \lim_{n \to \infty} \bigg| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \bigg| = \lim_{n \to \infty} \bigg| \frac{(n+1)!\,x^{n+1}}{n!\,x^{n}} \bigg| \] \[ = \lim_{n \to \infty} \bigg| \frac{(n+1)n!\,x^{n}x}{n!\,x^{n}} \bigg| = \lim_{n \to \infty} |(n+1)x| = \lim_{n \to \infty} (n+1)|x| \] \[ \Rightarrow \;Si\; x \neq 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (n+1)|x| = \infty \] \[ \Rightarrow \;Si\; x = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (n+1)|x| = \lim_{n \to \infty} (n+1)|0| = \lim_{n \to \infty} 0 = 0 \lt 1 \] Por el criterio de la razón converge, así la serie \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} n!\,x^{n} \) converge para \(x=0\), además, el intervalo de convergencia \( \{0\} \) solo es el punto cero.
Ejemplo 2.
Determinar el radio e intervalo de convergencia de la serie de potencias: \[ 2. \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \] \[ a_{n} = \frac{x^{n}}{n!} \;\;y\;\; a_{n+1} = \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \] \[ \lim_{n \to \infty} \bigg| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \bigg| = \lim_{n \to \infty} \bigg| \frac{\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{x^{n}}{n!}} \bigg| = \lim_{n \to \infty} \bigg| \frac{x^{n+1}n!}{(n+1)!x^{n}} \bigg| \] \[ = \lim_{n \to \infty} \bigg| \frac{x^{n}x\,n!}{(n+1)\,n!\,x^{n}} \bigg| = \lim_{n \to \infty} \bigg| \frac{x}{(n+1)} \bigg| = \lim_{n \to \infty} \frac{|x|}{n+1} \] \[ = |x| \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = |x| \frac{1}{\infty+1} = |x|(0) = 0 \lt 1 \; \forall x \] Por el criterio de la razón converge, así la serie \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \) converge para \(x=\infty \), además, el intervalo de convergencia es \( I = (-\infty, \infty) \)
Ejemplo 3.
Determinar el radio e intervalo de convergencia de la serie de potencias: \[ 3. \sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n} (x-2)^{n} \] \[ a_{n} = \left( -\frac{1}{2} \right)^{n} (x-2)^{n} \;\;y\;\; a_{n+1} = \left( -\frac{1}{2} \right)^{n+1} (x-2)^{n+1} \] \[ \lim_{n \to \infty} \bigg| \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \bigg| = \lim_{n \to \infty} \Bigg| \frac{\left( -\frac{1}{2} \right)^{n+1} (x-2)^{n+1}}{\left( -\frac{1}{2} \right)^{n} (x-2)^{n}} \Bigg| \] \[ = \lim_{n \to \infty} \Bigg| \frac{\left( -\frac{1}{2} \right)^{n} \left( -\frac{1}{2} \right) (x-2)(x-2)^{n}}{\left( -\frac{1}{2} \right)^{n} (x-2)^{n}} \Bigg| = \lim_{n \to \infty} \bigg| \left( -\frac{1}{2} \right) (x-2) \bigg| \] \[ = \lim_{n \to \infty} \bigg| \left(-\frac{1}{2} \right) \bigg| \bigg|(x-2)\bigg| = \frac{1}{2} |(x-2)| \lim_{n \to \infty} 1 = \frac{1}{2} |(x-2)| \] De acuerdo con el criterio de la razón, la serie converge si: \[ \frac{1}{2} |(x-2)| \lt 1 \Rightarrow |(x-2)| \lt 2 \] Resolviendo la desigualdad utilizando la siguiente propiedad: \[ |a| \lt b \Rightarrow -b \lt a \lt b \] \[ |(x-2)| \lt 2 \Rightarrow -2 \lt x - 2 \lt 2 \] \[ \Rightarrow -2 + 2 \lt x \lt 2 + 2 \Rightarrow 0 \lt x \lt 4 \] Luego entonces, la serie \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n} (x-2)^{n} \) converge si \( 0 \lt x \lt 4 \).
Diverge si: \[ \frac{1}{2} |(x-2)| \gt 1 \Rightarrow |(x-2)| \gt 2 \] Resolviendo la desigualdad utilizando la siguiente propiedad: \[ |a| \gt b \Rightarrow a \lt -b \;\cup\; a \gt b \] \[ x - 2 \lt -2 \Rightarrow x \lt -2 + 2 \Rightarrow x \lt 0 \] \[ x-2 \gt 2 \Rightarrow x \gt 2 + 2 \Rightarrow x \gt 4 \] Por lo tanto, la serie \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n} (x-2)^{n} \) diverge si \(x \lt 0\) y \(x \gt 4\).
Falta por determinar si la serie converge o diverge para: \[ \frac{1}{2} |(x-2)| = 1 \Rightarrow |(x-2)| = 2 \] Resolviendo la ecuación con valor absoluto tenemos que: \[ x - 2 = -2 \Rightarrow x = -2 + 2 = 0\] \[ x - 2 = 2 \Rightarrow x = 2 + 2 = 4\] Determinemos si la serie converge o diverge para \(x=0\) y para \(x=4\).
Caso I. Si \(x=0\) la serie es: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n} (4-2)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n} 2^{n} \] \[ \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2} (2) \right)^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \] Esta es una serie alternante, determinamos si converge o diverge con el criterio de series alternantes, para ello \(b_{n}=1\), notamos que no se cumple la segunda condición del criterio debido a que: \[ \lim_{n \to \infty} b_{n} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \neq 0 \] Por lo cual la serie diverge.
Por lo tanto, la serie de potencias \( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n} (x-2)^{n} \) converge si \( 0 \lt x \lt 4 \), el radio de convergencia es \(R=2\) y el intervalo de convergencia es \( I = (0,4) \).