Listas de Ejercicios de la Unidad III

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Recursos de la Unidad III

3.2 Series

3.2.4 Propiedades de las series

Teorema. Si \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) y \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n} \) son series convergentes con sumas \(A\) y \(B\) respectivamente, entonces:

Ejercicios complementarios de la sección.

1. Determinar si la serie converge o diverge: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{7}{n(n+1)} + \frac{2}{3^{n-1}} \right) \] Por propiedades de la sumatorias tenemos que: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{7}{n(n+1)} + \frac{2}{3^{n-1}} \right) = 7\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} + 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n-1}} \] La serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{n(n+1)} \) corresponde al ejemplo de la serie telescópica y determinamos que converge y su suma es \(1\).

La serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{3^{n-1}} \) tiene a la variable \(n\) solo en el exponente, por lo que podemos inferir que se trata de una serie geométrica, démosle la forma de ésta: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \] Enseguida revisamos que la serie geométrica tiene \( a=1 \) y \( r = \displaystyle\frac{1}{3} \) y además como \( |r| \lt 1 \), por lo tanto converge, y su suma es: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{3}} = \frac{1}{\displaystyle\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \] Por lo tanto, la serie converge y su suma es \(10\). \[7\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} + 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n-1}} = 7(1) + 2\left(\frac{3}{2}\right) = 10 \]

2. Determinar si la serie convergente o divergente: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(k+2)}{(k+3)^{2}} \] Comenzaremos aplicando la prueba de la divergencia, la cual nos dice que: \begin{array}{rcl} &Si&\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = \;no\;existe \\ &Si&\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} \neq 0 \end{array} Entonces \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) es divergente, aplicando la prueba tenemos: \[ \lim_{ k\to \infty} \frac{k(k+2)}{(k+3)^{2}} = \lim_{ k\to \infty} \frac{k^{2}+2k}{k^{2}+6k+9} \] \[ \lim_{ k\to \infty} \frac{\displaystyle\frac{k^{2}}{k^{2}} + \frac{2k}{k^{2}}}{\displaystyle\frac{k^{2}}{k^{2}} + \frac{6k}{k^{2}} + \frac{9}{k^{2}}} = \lim_{ k\to \infty} \frac{1+\displaystyle\frac{2}{k}}{1+\displaystyle\frac{6}{k} + \frac{9}{k^{2}}} \] \[ \Rightarrow \frac{1+\displaystyle\frac{2}{\infty}}{1+\displaystyle\frac{6}{\infty} + \frac{9}{\infty^{2}}} = \frac{1+0}{1+0+0} = 1 \neq 0 \] Por lo tanto la serie es divergente.

3. Determinar si la serie convergente o divergente: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+3^{n}}{2^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2^{n}} + \frac{3^{n}}{2^{n}} \right) \] Por propiedad de los exponentes se puede descomponer en dos sumatorias: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \Bigg[ \left( \frac{1}{2} \right)^{n} + \left( \frac{3}{2} \right)^{n} \Bigg] = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{n} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3}{2} \right)^{n} \] Si analizamos la sumatoria \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \displaystyle\frac{3}{2} \right)^{n} \), podemos ver que se trata de una serie geométrica con \( |r| = \displaystyle\frac{3}{2} \gt 1 \), por lo que esta serie es divergente. Al ser divergente una de las dos series en que se descompuso la serie inicial, entonces ésta también es divergente, por lo tanto: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+3^{n}}{2^{n}} \;es\;divergente \]