1.2 Integral definida
1.2.2 Propiedades de la integral definida
Cuando definimos la integral definida \(\int_{a}^{b} f(x) \,dx\), implícitamente se supone que \(a \lt b\). Pero la definición como límite de Sumas de Riemann tiene sentido aun si \(a \gt b\). Por lo que si se invierte el orden de \(a\) y \(b\), entonces \(\Delta x\) cambia \[ de\:\: \frac{b-a}{n} \Rightarrow \frac{a-b}{n} = - \left(\frac{b-a}{n} \right) \]
Por lo tanto: \[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = - \int_{b}^{a} f(x) \,dx \] Ahora bien, si \(a = b\), entonces \(\Delta x = 0\), luego: \[ \int_{a}^{a} f(x) \,dx = 0 \]
Sean \(f\) y \(g\) funciones continuas, se definen las siguientes propiedades: \[ 1. \int_{a}^{b} c \,dx = c(b-a),\:\:donde\:c\:es\:cualquier\:constante \] \[ 2. \int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx + \int_{a}^{b} g(x) \,dx \] \[ 3. \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx - \int_{a}^{b} g(x) \,dx \] \[ 4. \int_{a}^{b} c\:f(x) \,dx = c \int_{a}^{b} f(x) \,dx \] \[ 5. \int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{b} f(x) \,dx \]
Si \(f(x) \geq 0\) para \(a \leq x \leq b\), entonces \[ 1. \int_{a}^{b} f(x) \,dx \geq 0 \] Si \(f(x) \geq g(x)\) para \(a \leq x \leq b\), entonces \[ 2. \int_{a}^{b} f(x) \,dx \geq \int_{a}^{b} g(x) \,dx \] Si \(m \leq f(x) \leq M\) para \(a \leq x \leq b\), entonces \[ 3.\:\:m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) \,dx \leq M(b-a) \]
Teorema: Si \(f\) es una función integrable y \(f(x) \geq 0\) para todo \(x\) en el intervalo \([a,b]\), entonces el área \(A\) de la región bajo la gráfica de \(f\) es: \[ A = \int_{a}^{b} f(x) \,dx \]