3.1 Sucesiones

3.1.2 Notación de las sucesiones

La sucesión \( \{ a_{1}, a_{2}, a_{3} \}\) puede escribirse como \( \{ a_{n} \}_{n=1}^{\infty} \,\, o \,\, \{ a_{n} \}\).

Hay sucesiones que se definen en dependencia del n-ésimo término, a continuación, se presenta un ejemplo variando la notación.

Ejemplo 1. Variación de las notaciones.

• Como función: \( a(n) = \displaystyle\frac{(-1)^n(2n-1)}{2^n} \)


• Por medio del término n-ésimo: \( a_{n} = \displaystyle\frac{(-1)^n(2n-1)}{2^n} \)


• Sucesión implícita, con su término n-ésimo: \( \bigg\{ \displaystyle\frac{(-1)^n(2n-1)}{2^n} \bigg\} \)


• Sucesión explicita, indicando todos los términos: \( \displaystyle\bigg\{ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{5}{8}, \frac{7}{16}, ... , \frac{(-1)^n(2n-1)}{2^n} \bigg\} \)

Cualquier expresión que se usa para definir una función real se puede emplear para una sucesión, de modo que se pueden usar todas las operaciones como son: suma, diferencia, producto, cociente, potencia, etc. y cualquier función como son las algebraicas y las trascendentes, aunque se tiene que en sucesiones se usa \( (-1)^n \) el cual es un factor que no se emplea en funciones reales. Son sucesiones las siguientes: \[ a(n) = \sqrt{n}, \bigg\{ \frac{1}{n} \bigg\}, a_{n} = (-1)^{n+1} \frac{1}{n}, \{3\}, \bigg\{ \frac{n-1}{n} \bigg\} \; y \; \bigg\{ (-1)^{n-1} \frac{n-1}{n} \bigg\} \] En sucesiones, una función constante como la que se tiene acontinuación, en variable real no representa solo a un número, sino que nos indica que para cada número entero positivo la función natural toma ese valor, por lo tanto: \[ f(x) = 5 \] \[ \{ 5 \} = \{5, 5, 5, 5, ..., 5, ... \} \]

Ejemplo 2. Sucesiones

Determinar una expresión para el término general \(a_{n}\) de la sucesión, suponiendo que el patrón de los primeros términos continua... \[ \bigg\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, ... \bigg\} \] La forma que tienen los elementos de la sucesión son fracciones con numerador fijo \(1\) y con denominador que varía, los denominadores son \(2,4,8,16,…\) , los números en los denominadores son las potencias de \(2\), luego entonces: \[ \bigg\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, ... \bigg\} = \bigg\{ \frac{1}{2^n} \bigg\} \]

Ejemplo 3. Sucesiones

Determinar una expresión para el término general \(a_{n}\) de la sucesión, suponiendo que el patrón de los primeros términos continua... \[ \bigg\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, ... \bigg\} \] La forma que tienen los elementos de la sucesión son fracciones con numerador fijo \(1\) y con denominador que varía, los denominadores son \(2,4,6,8,…\) , los números en los denominadores son múltiplos de \(2\), luego entonces: \[ \bigg\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, ... \bigg\} = \bigg\{ \frac{1}{2n} \bigg\} \]