2.2 Integrales impropias

2.2.3 Integrales con discontinuidades infinitas

Muchos autores llaman a este tipo de integrales como: integrales de segunda especie, integrales impropias de tipo II, integrales discontinuas.

Si al calcular el límite de la función resultante, existe, entonces la integral converge o es convergente, y en el caso contrario la integral diverge o es divergente. A continuación, se describen los pasos a seguir para resolver una integral con discontinuidades infinitas:

• Ver la discontinuidad que se muestra en la integral para así mismo ver el procedimiento a realizar
• Identificar \(u\) y \(du\);
• Observar si la integral está completa, en caso contrario se completa de acuerdo con su derivada
• Integramos la función.
• Después de integrar, se aplica la fórmula: \( f(b) – f(a) \).
• Se concluye si es convergente o divergente.

Ejemplo 1. Determinar si la siguiente integral converge o diverge.

Si \(f\) es continua en el intervalo \([a, b) \) y tiene una discontinuidad infinita en \(b\), determinar si la integral es convergente o divergente. \[ \int_{0}^{1} \frac{4x}{\sqrt{1-x^4}} \,dx\] El integrando es \(f(x) = \frac{4x}{\sqrt{1-x^4}} \), esta función no es continua en \(x = \pm 1 \), luego es continua en el intervalo \([0,1)\), usando la definición, tenemos: \[ \int_{0}^{1} \frac{4x}{\sqrt{1-x^4}} \,dx = \lim_{ b \to 1^{-} } \int_{0}^{b} \frac{4x}{\sqrt{1-x^4}} \,dx \] La integral se puede resolver por cambio de variable, tomando \(u = x^2, du = 2x\,dx\) \[ \int \frac{4x}{\sqrt{1-x^4}} \,dx = 2 \int \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}} \,dx \] \[ \Rightarrow 2 \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \,du = 2\,arcsin\, x^2 \] Luego entonces: \[ \int_{0}^{1} \frac{4x}{\sqrt{1-x^4}} \,dx = \lim_{ b \to 1^{-} } \int_{0}^{b} \frac{4x}{\sqrt{1-x^4}} \,dx \] \[ \Rightarrow \lim_{ b \to 1^{-} } 2\,arcsin\, x^2 \Big|_{0}^{b} = \lim_{ b \to 1^{-} } 2\,arcsin\, b^2 - 2\,arcsin\, 0^2 \] \[ \Rightarrow \lim_{ b \to 1^{-} } 2\,arcsin\, b^2 - 2\,arcsin\,0 = 2\,arcsin\, 1 - 2\,arcsin\,0 \] Determinemos los valores de las funciones \(y = 2\,arcsin\, 1 \) y \(z = 2\,arcsin\,0 \), usando los valores principales de las funciones trigonométricas tenemos que \(y=\frac{\pi}{2}\) y \(z=0\). Luego entonces: \[ \int_{0}^{1} \frac{4x}{\sqrt{1-x^4}} \,dx = 2\,arcsin\, 1 - 2\,arcsin\,0 \] \[ \Rightarrow 2 \left( \frac{\pi}{2} \right) - 2(0) = \pi \] Por lo tanto, decimos que la integral converge y su valor es \( \pi \).

Ejemplo 2. Determinar si la siguiente integral converge o diverge.

Si \(f\) es continua en el intervalo \( (a, b] \) y tiene una discontinuidad infinita en \(a\), determinar si la integral es convergente o divergente. \[ \int_{0}^{1} \frac{3}{x^5} \,dx \] Aplicando la definición tenemos que: \[ \lim_{a \to 0} \int_{a}^{1} \frac{3}{x^5} \,dx = \lim_{a \to 0} 3 \int_{a}^{1} x^{-5} \,dx \] \[ \Rightarrow \lim_{a \to 0} -\frac{3}{4x^4} \Big|_{a}^{1} = \lim_{a \to 0} \left[ \left( - \frac{3}{4(1)^4} \right) + \left( - \frac{3}{4(a)^4} \right) \right] \] \[ \Rightarrow \left[ \left( - \frac{3}{4(1)^4} \right) + \left( - \frac{3}{4(0)^4} \right) \right] = - \frac{3}{4} + \frac{3}{0} \] \[ \Rightarrow - \frac{3}{4} + \infty = \infty \] Por lo tanto, decimos que la integral diverge a \(\infty\) (infinito).

Ejemplo 3. Determinar si la siguiente integral converge o diverge.

Si \(f\) es continua en el intervalo \( [a, b] \), excepto para algún \(c\) en \( (a,b) \) en el que \(f\) tiene una discontinuidad infinita, entonces determine si la integral es convergente o divergente. Si es convergente diga a qué converge. \[ \int_{0}^{3} \frac{dx}{x^2-6x+5} \] Al obtener indeterminación al evaluar en \(1\) es necesario ajustar la integral: \[ \lim_{b \to 1} \int_{0}^{b} \frac{dx}{x^2-6x+5} + \lim_{a \to 1} \int_{a}^{3} \frac{dx}{x^2-6x+5} \] Factorizamos para hacer más fácil la integración: \[ \lim_{b \to 1} \int_{0}^{b} \frac{dx}{ (x-3)^2-(2)^2 } + \lim_{a \to 1} \int_{a}^{3} \frac{dx}{ (x-3)^2-(2)^2 } \] Integraremos usando la fórmula: \( \int \frac{du}{u^2-a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left[ \frac{u-a}{u+a} \right] \) donde \(u=(x-3)\) y \(a=2\). \[ \lim_{b \to 1} \left( \frac{1}{2(2)} \ln \left[ \frac{(x-3)-2}{(x-3)+2} \right] \right) \Big|_{0}^{b} \, + \] \[ \lim_{a \to 1} \left( \frac{1}{2(2)} \ln \left[ \frac{(x-3)-2}{(x-3)+2} \right] \right) \Big|_{a}^{3} \] Simplificamos y evaluamos: \[ \lim_{b \to 1} \frac{1}{4} \left( \ln \left[ \frac{b-5}{b-1} \right] - \ln(5) \right) \, + \] \[ \lim_{a \to 1} \frac{1}{4} \left( \ln(-1) - \ln \left[ \frac{a-5}{a-1} \right] \right) \] Resolvemos el primer límite aplicando propiedades de los logaritmos: \[ \lim_{b \to 1} \frac{1}{4} \left( \ln \left[ \frac{\displaystyle\frac{b-5}{b-1}}{\displaystyle\frac{5}{1}} \right] \right) = \lim_{b \to 1} \frac{1}{4} \left( \ln \left[ \frac{b-5}{(5b-5)} \right] \right) \] Evaluamos el límite: \[ \frac{1}{4} (\ln|\infty|) = \frac{1}{4}(\infty) = \infty \] Al obtener divergencia en el primer límite, ya no es necesario resolver el segundo límite. Por lo tanto, \[ \int_{0}^{3} \frac{dx}{x^2-6x+5} \:\:es\:\:divergente \]

Ejemplo 4.

Para qué valores de \(p\) la integral \( \int\limits_{0}^{1} \displaystyle\frac{1}{x^{p}} \, dx \) converge y para cuáles valores de \(p\), diverge. \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} \, dx = \int_{0}^{1} x^{-p} \, dx = \frac{x^{-p+1}}{-p+1} \Bigg|_{0}^{1} \] \[ \Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{x^{-p+1}}{-p+1} = \frac{(0)^{-p+1}}{1-p} \] \[ \Rightarrow \lim_{x \to 1} \frac{x^{-p+1}}{-p+1} = \frac{(1)^{-p+1}}{-p+1} = \frac{1}{1-p} \] Decimos entonces que \( \int\limits_{0}^{1} \displaystyle\frac{1}{x^{p}} \, dx \): \[ Converge. \; Si \; -p+1 \gt 0 \rightarrow 1 \gt p \rightarrow p \lt 1 \] \[ Diverge. \; Si \; -p+1 \lt 0 \rightarrow 1 \lt p \rightarrow p \gt 1 \] Ahora evaluaremos en algunos valores de \(p\), comenzando por \(p=1\):

\[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \, dx = (\ln{|x|})\Big|_{0}^{1} \] \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{x \to 0} \ln{|x|} = \ln{|0|} = -\infty \] \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{x \to 1} \ln{|x|} = \ln{|1|} = 0 \] \[ \lim_{x \to 0} \ln{|x|} + \lim_{x \to 1} \ln{|x|} = 0 + \infty = \infty \] \[ \therefore Es\;divergente \] Ahora probaremos con \(p \gt 1\), como ejemplo tomaremos \(p=2\): \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} \, dx = \int_{0}^{1} x^{-2} \,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} \Big|_{0}^{1} \] \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} \, dx = \lim_{x \to 0} -\frac{1}{x} = -\frac{1}{0} = -\infty \] \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} \, dx = \lim_{x \to 1} -\frac{1}{x} = -\frac{1}{1} = -1 \] \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} \, dx = -1 + \infty = \infty \] \[ \therefore Es\;divergente \]

Ahora probaremos con \(p \lt 1\), como ejemplo tomaremos \(p=\displaystyle\frac{1}{3}\): \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \, dx = \int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{3}} \, dx = \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\displaystyle\frac{1}{3} + 1} = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\displaystyle\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} \Big|_{0}^{1} \] \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \, dx = \lim_{x \to 0} \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} (0)^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} (0) = 0\] \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \, dx = \lim_{x \to 1} \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} (1)^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} (1) = \frac{3}{2}\] \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \, dx = \frac{3}{2} - 0 = \frac{3}{2} \] \[ \therefore Es\;convergente \;a\; \frac{3}{2} \] Finalmente, para \( p \lt 1 \) utilizaremos \( p = -1 \) \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{-1}} \, dx = \int_{0}^{1} x \, dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2} \Big|_{0}^{1} \] \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{-1}} \, dx = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{2} = \frac{0^{2}}{2} = \frac{0}{2} = 0 \] \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{-1}} \, dx = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2}}{2} = \frac{1^{2}}{2} = \frac{1}{2} \] \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{-1}} \, dx = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \] \[ \therefore Es\;convergente \;a\; \frac{1}{2} \]

Ejemplo 5.

Evaluar la siguiente integral y determinar si es convergente o divergente: \[ \int_{0}^{33} (x-1)^{-\frac{1}{5}} \,dx = \int_{0}^{33} \frac{dx}{\sqrt[5]{(x-1)}} \] \[ = \lim_{a \to 1} \int_{0}^{a} (x-1)^{-\frac{1}{5}} \,dx + \lim_{b \to 1} \int_{b}^{33} (x-1)^{-\frac{1}{5}} \,dx \] \[ = \lim_{a \to 1} \frac{5}{4} (x-1)^{\frac{4}{5}} + \lim_{b \to 1} \frac{5}{4} (x-1)^{\frac{4}{5}} \] \[ \left( \frac{5}{4}(1-1)^{\frac{4}{5}} - \frac{5}{4}(0-1)^{\frac{4}{5}} \right) + \left( \frac{5}{4}(33-1)^{\frac{4}{5}} - \frac{5}{4}(1-1)^{\frac{4}{5}} \right) \] \[ \left( 0 - \frac{5}{4} \right) + (20-0) = -\frac{5}{4}+20 = \frac{75}{4} \] \[ \int_{0}^{3} \frac{dx}{x^{2}-6x+5} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{(x-5)(x-1)} + \int_{1}^{3} \frac{dx}{(x-5)(x-1)} \] Resolviendo por fracciones parciales tenemos lo siguiente: \[ \frac{1}{(x-5)(x-1)} = \frac{A}{(x-5)} + \frac{B}{(x-1)} \] \[ 1 = A(x-1) + B(x-5) \Rightarrow A = \frac{1}{4} \;\;y\;\; B = -\frac{1}{4} \] Resolviendo la primera integral tenemos que: \[ \lim_{a \to 1^{-}} \left( \frac{1}{4} \int_{0}^{a} \left( \frac{1}{(x-5)} + \frac{1}{(x-1)} \right) \, dx \right) = \lim_{a \to 1^{-}} \frac{1}{4} \Big( \ln{(x-5)} - \ln{(x-1)} \Big) \] \[ = \lim_{a \to 1^{-}} \frac{1}{4}\left( \ln{\left(\frac{x-5}{x-1}\right)} \right) \] Evaluando tenemos que: \[ \frac{1}{4} (\ln{(\infty)} - \ln{(-5)}) = \frac{1}{4} \left( \ln{\left( \frac{\infty}{-5} \right)} \right) = \infty \] Ya que la primera integral es divergente, no hace falta hacer la segunda porque el resultado será \(\infty\). Entonces: \[ \int_{0}^{33} (x-1)^{-\frac{1}{5}} \,dx \;es\;divergente \]