1.2 Integral definida
1.2.1 Introducción
En la sección anterior calculamos el área de una región usando aproximaciones con rectángulos inscritos y circunscritos de igual anchura, pero este no es el único método existente. Tanto el área de una región \(R\) y la integral definida se calculan usando el mismo procedimiento definido anteriormente, es decir, Sumas de Riemann. Por lo tanto, ¿es posible determinar el área bajo la curva con una integral definida?
Sea una función \(f\) definida en un intervalo cerrado \([a,b]\). La integral definida de \(f\) entre \(a\) y \(b\) se denota por \(\int_{a}^{b} f(x) \,dx\) y está definida como: \[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_{i})\Delta(x) \] Por lo que si deseamos determinar el valor de una integral definida, se debe de determinar el límite de las Sumas de Riemann.
Teorema Si \(f\) es una función integrable y \(f(x)\geq0\) para todo \(x\) en \([a,b]\), entonces el área bajo la gráfica de \(f\) entre \(a\) y \(b\) es \(\int_{a}^{b} f(x) \,dx\), esto es: \[ A = \int_{a}^{b} f(x) \,dx \]