1.3 Integración numérica

1.3.1 Introducción

Hay ocasiones en las cuales no es posible calcular el valor exacto de una integral definida, esto ocurre cuando no podemos encontrar una antiderivada. Lo que podemos hacer es aproximar el valor de la integral, recordemos que la integral definida se define como el límite de la suma de Riemann, así que de este modo se tendrá una aproximación.

Se llaman Métodos de Newton-Cotes a los que se basan en integrar un polinomio de interpolación que aproxime a \(f(x)\) en \([a,b]\). Se trata por tanto de toda una familia general de métodos, según el polinomio de interpolación que se considere (puede elegirse diferente grado, diferentes puntos para interpolar, etc.). Para el caso de las interpolaciones lineal y cuadrática, estos métodos se denominan Método de los Trapecios y Método de Simpson, respectivamente.

1.3.2 Regla del trapecio

El Método de los trapecios es un Método de Newton-Cótes basado en la interpolación lineal. Es uno de los métodos más utilizados para calcular aproximaciones numéricas de integrales definidas. Para el polinomio interpolante de primer grado se tiene:

Consideremos una función \(f(x)\) en el intervalo \([a,b]\), y además consideremos una partición de \([a,b]\) con intervalos de longitud \(\Delta x\), donde \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\). Para obtener una mejor aproximación, consideremos sobre cada uno de los subintervalos de la partición un trapecio .

Consideremos el trapecio en el intervalo \([x_{i-1}, x_{i}]\)

El área del trapecio es \(A = \left( \frac{b+B}{2} \right) h\) \[ b = f(x_{i-1}), B = f(x_{i})\:\:y\:\: h = \Delta x, \:\:luego \] \[ A_{i} = \left( \frac{f(x_{i-1}) + f(x_{i}) }{2} \right) \Delta x \]

Calculando el área de todos los trapecios y sumándolas tenemos: \[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx A_{1} + A_{2} + A_{3} + ... + A_{i} + ... + A_{n} \] \begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \left( \frac{f(x_{0}) + f(x_{1}) }{2} \right) \Delta x + \left( \frac{f(x_{1}) + f(x_{2}) }{2} \right) \Delta x + \left( \frac{f(x_{2}) + f(x_{3}) }{2} \right) \Delta x \: + \\ ... + \left( \frac{f(x_{i-1}) + f(x_{i}) }{2} \right) \Delta x \: + ... + \left( \frac{f(x_{n-1}) + f(x_{n}) }{2} \right) \Delta x \end{align} Se define entonces, la Regla del Trapecio: \[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \frac{\Delta x}{2} (f(x_0) + 2f(x_{1}) + 2f(x_{2}) + ... + 2f(x_{i}) + ... + 2f(x_{n-1}) + f(x_{n})) \] Donde: \( \Delta x = \frac{b-a}{n}\) y \( x_{i} = a + i \Delta x\)

Ejemplo.

Calcular el valor aproximado de la integral: \[ \int_{0}^{1} \frac{x \,dx}{(x+1)(x+2)} \] Utilizando la regla de los trapecios compuestos con \(n = 8\) subintervalos.

Primero, dividimos el intervalo \([0,1]\) en 8 subintervalos y calculamos los valores correspondientes del integrado:

Finalmente, aplicamos la fórmula antes deducida de la siguiente manera: \[ I \approx \frac{h}{2} [f(x_0) + 2(f(x_{1}) + f(x_{2}) + f(x_{3}) + f(x_{4}) + f(x_{5}) + f(x_{6}) + f(x_{7})) + f(x_{8})] \] \[ \approx \frac{0.125}{2} [0 + 2( 0.05228 + 0.08888 + 0.11483 + 0.13333 + 0.1452 + 0.15584 + 0.162319) + 0.16666] \] \[ \approx 0.117166 \] Ahora, evaluaremos la integral y compararemos el valor aproximado obtenido con el de la integral. \[ I = \int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)(x+2)}\,dx = \] \[ \frac{x}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{(x+1)} + \frac{B}{(x+2)} = \frac{A(x+2) + B(x+1)}{(x+1)(x+2)} \] \[ \Rightarrow x = A(x+2) + B(x+1) \rightarrow \begin{cases} x = -1 \rightarrow A = -1 \\ x = -2 \rightarrow B = 2 \end{cases} \] \[ \int_{0}^{1} \left( \frac{-1}{x+1} + \frac{2}{x+2} \right) \,dx = -\log(x+1) + 2\log(x+2) \Big|_{0}^{1} \] \[ \Rightarrow \log \frac{(x+2)^2}{(x+1)} \Big|_{0}^{1} = \log \frac{9}{2} - \log 4 = 0.1177830 \]