1.3 Integración numérica
1.3.3 Regla de Simpson
El Método de Simpson es un método de Newton-Cótes de segundo orden, es decir basado en integrar un polinomio de interpolación de segundo grado, de la forma siguiente:
Dada la función \(f(x)\) en \([a,b]\), tomaremos como tercer punto para la interpolación el punto medio de dicho intervalo, es decir: \(x_{m} = \frac{a+b}{2}\), y denominaremos \(h = \frac{b-a}{2}\) a la semianchura del intervalo. De esta forma el polinomio de interpolación de segundo grado que pasa por \((a,f(a))\), \((x_{m},f(x_{m}))\) y \((b,f(b))\) será: \[ P_{2}(x) = f(a) + \frac{f(x_{m}) - f(a)}{h}(x-a) + \frac{f(a) - f(b) - 2f(x_{m})}{2h^2}(x-a)(x-x_{m}) \] Calculando la integral de \(P_{2}(x)\) entre a y b, de manera que se obtiene: \[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \int_{a}^{b} P_{2}(x) \,dx = \frac{h}{3}(f(a) + 4f(x_{m}) + f(b)) \]
Es posible generalizar (mejorando la precisión) el Método de Simpson por medio de la subdivisión del intervalo dado en otros más reducidos. De esta forma si partimos el intervalo \([a,b]\) en \(n\) subintervalos de anchura \(h = \frac{b-a}{n}\), tendremos la partición \(\{x_{0}, x_{1}, ..., x_{n} \}\). Tendremos entonces: \[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = \int_{a}^{x_{2}}f(x) \,dx + \int_{x_{2}}^{x_{4}}f(x) \,dx + ... + \int_{x_{n-2}}^{x_{n}} f(x) \,dx \] y los puntos: \(x_{1}, x_{3}, ..., x_{n-1}\) representarán el papel de “puntos medios” en cada una de las aplicaciones sucesivas del método simple. De forma explícita se obtiene: \[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx \approx \frac{h}{3} (f(a) + 4I + 2P + f(b)) \] Donde \(I\) y \(P\) representan las sumas: \[ I = \sum_{i=2,\:\:impares}^{n-1} f(x_{i}) = f(x_{1}) + f(x_{3}) + ... + f(x_{n-1}) \] \[ P = \sum_{i=2,\:\:pares}^{n-2} f(x_{i}) = f(x_{2}) + f(x_{4}) + ... + f(x_{n-2}) \] Concluimos por tanto en la expresión: \[ E \leq \left| \frac{b-a}{180}h^4M_{4} \right| \]
Ejemplo.
Calcular el valor aproximado de la integral \[ \int_{0}^{1} \frac{x \,dx}{(x+1)(x+2)} \] Utilizando la regla de Simpson compuesta con \(n = 8\).
| \(x_{0}\) \(0\) |
\(x_{1}\) \(0.125\) |
\(x_{2}\) \(0.25\) |
\(x_{3}\) \(0.375\) |
\(x_{4}\) \(0.5\) |
\(x_{5}\) \(0.625\) |
\(x_{6}\) \(0.75\) |
\(x_{7}\) \(0.875\) |
\(x_{8}\) \(1.0\) |
| \(f(x_{0})\) \(0\) |
\(f(x_{1})\) \(0.05228\) |
\(f(x_{2})\) \(0.08888\) |
\(f(x_{3})\) \(0.11483\) |
\(f(x_{4})\) \(0.13333\) |
\(f(x_{5})\) \(0.1452\) |
\(f(x_{6})\) \(0.15584\) |
\(f(x_{7})\) \(0.162319\) |
\(f(x_{8})\) \(0.16666\) |
De manera que: \[ I \approx \frac{h}{3} [f(0) + 4(f(x_{1}) + f(x_{3}) + f(x_{5}) + f(x_{7})) + 2(f(x_{2}) + f(x_{2}) + f(x_{4}) + f(x_{6})) + f(x_{8})] \] \[ \approx \frac{0.125}{3} [4(0.05228+0.11482+0.14652+0.162319)+2(0.888+0.1333+0.15584)+0.1666] \] \[ I \approx 0.117773 \]