3.1 Sucesiones
3.1.3 Gráfica de una sucesión
Una sucesión se grafica en el plano de ejes \(n\) y \(a_{n}\). Los términos de la sucesión se representan en el plano por puntos, el primer término será el punto \( (1, a_{1}) \), el siguiente \( (2, a_{2}) \) luego \( (3, a_{3}) \) etc.
Para ejemplificar lo anterior, grafiquemos la sucesión \( \bigg\{\displaystyle\frac{1}{n}\bigg\} \)
Los términos de la sucesión son: \( \displaystyle\bigg\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, ... \bigg\} \)
La gráfica la constituye solo los puntos, ya que la sucesión es una función que solo está definida en los números naturales, por lo cual no podemos unirlos con una línea como sucede con los números reales. Se puede usar la función real, si la conocemos, para apoyarnos en su trazo y marcar los puntos que determinan a la sucesión, tal y como se muestra en la siguiente gráfica:
Ahora, grafiquemos la sucesión \( \{\sqrt{n}\} \)
Los elementos de la sucesión son \( \{ 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}, ... \} \) , podemos usar la gráfica de \( f(x) = \sqrt{x} \) como base para determinar la gráfica de la sucesión.
La gráfica de la sucesión la constituyen los puntos en negro como puede verse en la siguiente gráfica:
Las dos sucesiones que graficamos se comportan de manera muy diferente, en la primera de ellas, conforme se incrementa \(n\), los valores de \(a_{n}\) se acercan a una línea, en este caso a \(0\). Y en la segunda sucesión los valores se dispersan y conforme \(n\) crece, estos también lo hacen. Estos comportamientos están relacionados con la convergencia y divergencia de una sucesión. Además, las propiedades de funciones en general son aplicables a sucesiones.
1. Las sucesiones son acotadas superior e inferiormente, si y sólo si, su imagen es acotada (superior e inferiormente).
2. Si \(a\) y \(b\) son sucesiones, su combinación lineal y su producto son sucesiones.
3. Dada la sucesión \(b\) diferente de cero, la recíproca \(\frac{1}{b}\) es también una sucesión, así como el cociente \( \frac{a}{b} \), donde \(a\) es una sucesión.
Definición. Sea \( \{a_{n}\} \) una sucesión, ésta es:
a) Creciente si \( a_{n} \lt a_{n+1} \) para todo \(n\) positivo.
b) Decreciente si \( a_{n} \gt a_{n+1} \) para todo \(n\) positivo.