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3.3 Criterios de Convergencia

3.3.1 Introducción

En la sección anterior abordamos el concepto de serie y como al determinar la sucesión de sumas parciales de la serie se tiene la posibilidad de indicar si la serie converge o diverge; sin embargo, no siempre es posible el determinar una expresión algebraica para la n-ésima suma parcial de la serie. Si tenemos una serie especial como lo son la series geométrica, telescópica, armónica, podemos identificarlas y de acuerdo con su tipo determinar si convergen o divergen, pero también no todas las series son especiales, entonces, ¿Cómo poder determinar la convergencia de la serie?, y si ésta converge ¿Cuál es su suma?

Podriamos sugerir el uso de la computadora para dar respuesta a estas preguntas, primero se observarían los resultados obtenidos en las sumas parciales, si estos números parecen estabilizarse en un número fijo \(S\), la serie converge, lo que respondería a la primera pregunta, después concluiríamos que \(S\) es la suma de la serie, dando así respuesta a la segunda pregunta. Sin embargo, esta respuesta es incorrecta para la primera pregunta y sólo parcialmente correcta para la segunda.

Analicemos el por qué es incorrecta la respuesta obtenida con la computadora. Consideremos la serie: \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} + ⋯ \] Las sumas parciales de esta serie son: \[ S_{1} = 1 \] \[ S_{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] \[ S_{3} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} \] \begin{align} S_{4} &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12} \\ &\vdotswithin{=} \notag \\ S_{n} &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ⋯ + \frac{1}{n} = ? \end{align} La sucesión de sumas parciales crece sin límite, pero crece tan lentamente que se necesitan cientos de millones de términos para que \(S_{n}\) se igual a \(20\) y más de \(10^{43}\) términos para que \(S_{n}\) llegue a \(100\). Debido a las limitaciones propias de una computadora, como el número de dígitos, ocurriría que en algún momento se obtendrían valores repetidos para \(S_{n}\), lo que sugeriría incorrectamente que la serie converge (la serie analizada se llama serie armónica la cual se demostrará más adelante que es divergente). Es claro que una computadora no puede sustituir los criterios matemáticos para la convergencia y divergencia de una serie.

Con esta sección ampliaremos el tipo de series para poder determinar si son convergentes o divergentes; se tomará el caso particular de series de términos positivos, ya que las sumas parciales forman sucesiones no decrecientes, y las sucesiones no decrecientes que están acotadas superiormente convergen. Sin embargo, ya no podemos determinar la suma de la serie.

Teorema. Sea \( \sum a_{n} \) una serie de términos positivos. Si existe un número \(M\) tal que \( S_{n} \lt M \) para toda \(n\), entonces la serie converge y su suma cumple que \( S \lt M \). Si tal numero \(M\) no existe, entonces la serie diverge.

Si \( \{S_{n}\} \) es la sucesión de sumas parciales de la serie de términos positivos \( \sum a_{n} \) y recordemos que: \[ S_{1} = a_{1}, S_{2} = a_{1} + a_{2}, S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}, ... \] Entonces: \[ S_{1} \lt S_{2} \lt S_{3} \lt S_{4} \lt S_{5} \lt S_{6} ... \] La sucesión \( \{S_{n}\} \) es creciente y por lo tanto es monótona. Si existe un número \(M\) tal que \( S_{n} \lt M \) para toda \(n\), entonces \( \{S_{n}\} \) es una sucesión monótona y acotada. \[ \lim_{n \to \infty} S_{n} \lt S \leq M \] Para algún número \(S\) y por lo tanto la serie converge. Si tal número \(M\) no existe, entonces: \[ \lim_{n \to \infty} S_{n} = \infty \] y por lo tanto la serie diverge.

Los criterios de convergencia que analizaremos en esta sección son: