3.4 Series Alternantes
3.4.2 Criterio para series alternantes
La serie alternante: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} b_{n} = b_{1} - b_{2} + b_{3} - b_{4} + b_{5} - b_{6} + ⋯ + (-1)^{n-1} b_{n} \] Con \(b_{i} \gt 0\), converge si: \[ i)\;\; b_{n+1} \leq b_{n} \; \forall n \] \[ ii)\;\; \lim_{n \to \infty} b_{n} = 0 \] Siendo \(b_{n}\) el término general de la serie sin tomar en cuenta el signo y este es positivo de acuerdo con la condición en la definición. La primer condición nos indica que los elementos de la serie son decrecientes, por lo que también se puede comprobar asignando el término general a una función y verificando que es decreciente usando la derivada de la función.
Ejemplo 1.
Determinar si la serie dada converge o diverge. \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{2n}{4n^2-3} \] Al tratarse de una serie alternante, usamos el criterio para series alternantes. \[ a_{n} = (-1)^{n-1} \frac{2n}{4n^2-3} \;y\; b_{n} = \frac{2n}{4n^2-3} \] Para la primera condición se debe mostrar que es decreciente, por la forma que tiene el termino general, tomamos \( f(x) = \frac{2x}{4x^2-3} \) y calculamos su derivada: \[ f'(x) = \frac{2(4x^2-3)-2x(8x)}{(4x^2-3)^2} = \frac{8x^2-6-16x^2}{(4x^2-3)^2} \] \[ \Rightarrow \frac{-8x^2-6}{(4x^2-3)^2} = - \frac{8x^2+6}{(4x^2-3)^2} \lt 0 \; \forall x \] Observamos que \(f\) es decreciente y la primera condición se cumple. Ahora calculemos el límite de \(b_{n}\): \[ \lim_{n \to \infty} b_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{4n^2-3} = \frac{\infty}{\infty} \] \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n}{n^2}}{\frac{4n^2-3}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n}}{4 - \frac{3}{n^2}} \] \[ \Rightarrow \frac{\frac{2}{\infty}}{4 - \frac{3}{(\infty)^2}} = \frac{0}{4-0} = 0 \] Con esto se cumple la segunda condición, por lo que la serie: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{2n}{4n^2-3} \; converge. \]
Ejemplo 2.
Determinar si la serie dada converge o diverge. \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n+1}{n} \] Al tratarse de una serie alternante, usamos el criterio para series alternantes. \[ a_{n} = (-1)^{n+1} \frac{n+1}{n} \;y\; b_{n} = \frac{n+1}{n} \] Para la primera condición se debe mostrar que es decreciente, por la forma que tiene el termino general, tomamos: \[ f(x) = \frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x} \] y calculamos su derivada: \[ f'(x) = - \frac{1}{x^2} \lt 0 \; \forall x\] Observamos que \(f\) es decreciente y la primera condición se cumple. Ahora calculemos el límite de \(b_{n}\): \[ \lim_{n \to \infty} b_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = \frac{\infty}{\infty} \] \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{n}}{\frac{n}{n}} = \lim_{n \to \infty} 1 + \frac{1}{n} \] \[ \Rightarrow 1 + \frac{1}{\infty} = 1 \neq 0 \] Como el límite es diferente de cero no se cumple la segunda condición y la serie diverge. Se concluye que la serie: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{n+1}{n} \; diverge. \] 📖 Importante. Cuando no se cumple alguna de las condiciones podemos decir que diverge, si vemos que una serie no cumple la segunda condición directamente podemos hacer referencia a ello y decir que diverge.