3.2 Series
3.2.3 Criterio del n-ésimo término para la divergencia
Si la serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) converge, entonces: \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 \]
La serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n-1}} \) converge, fue la que se estudió al inicio de la sección, entonces, si tomamos que \( a_{n} = \displaystyle\frac{1}{2^{n-1}} \) \[ \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1}{2^{\infty}} = 0 \] Podemos ver que el teorema queda ilustrado con este ejemplo.
La serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) diverge si: \[ i. \lim_{n \to \infty} a_{n} \neq 0 \] \[ ii. \lim_{n \to \infty} a_{n} \; no \; existe. \]
Ejemplo 1. Criterio n-ésimo de la divergencia
Aplica el criterio n-ésimo de la divergencia para determinar si la serie dada diverge: \[1. \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \] Calculando el límite tenemos que \( \lim\limits_{n \to \infty} n^2 = \infty \), vemos que el límite no existe, por lo que de acuerdo al criterio la serie diverge.
Ejemplo 2. Criterio n-ésimo de la divergencia
Aplica el criterio n-ésimo de la divergencia para determinar si la serie dada diverge: \[2. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2n!+1} \] Calculando el límite tenemos que: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{2n!+1} = \frac{\infty}{\infty} \] el resultado del límite es una forma indeterminada, por lo que no es posible usar la regla de L’Hôpital porque no hay una regla de derivación para el factorial, entonces, usemos un procedimiento algebraico, para este caso divideremos entre la potencia mayor siendo ésta \(n!\), de este modo nos queda que: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n!}{n!}}{\frac{2n!+1}{n!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n!}{n!}}{\frac{2n!}{n!} + \frac{1}{n!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{n!}} \] \[ \Rightarrow \frac{1}{2+\frac{1}{\infty}} = \frac{1}{2} \neq 0 \] Como el límite es diferente de cero de acuerdo con el criterio la serie diverge.
Ejemplo 3. Criterio n-ésimo de la divergencia
Aplica el criterio n-ésimo de la divergencia para determinar si la serie dada diverge: \[3. \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \] Notamos que el límite \( \lim\limits_{n \to \infty} (-1)^{n+1} \) no se puede determinar evaluando, ni usando la regla de L’Hôpital (al no ser cociente indeterminado no se puede usar) o con alguno de los teoremas de sucesiones (ya que si calculamos el límite del valor absoluto del término general no es cero). Pero podemos calcular el valor del límite tomando el valor de \(n\) par e impar: \[ Si\;n\;es\;par\; (-1)^{n-1} = -1 \; entonces \; \lim_{n \to \infty} (-1)^{n-1} = \lim_{n \to \infty} -1 = -1 \] \[ Si\;n\;es\;impar\; (-1)^{n-1} = 1 \; entonces \; \lim_{n \to \infty} (-1)^{n-1} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1 \] Como los límites son diferentes entonces \( \lim\limits_{n \to \infty} (-1)^{n+1} \) no existe. Por lo que de acuerdo con el criterio la serie diverge.
Ejemplo 4. Criterio n-ésimo de la divergencia
Aplica el criterio n-ésimo de la divergencia para determinar si la serie dada diverge: \[4. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \] Calculando el límite \( \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \), como el límite es cero el criterio no determina si la serie converge o diverge.
Ejemplo 5. Criterio n-ésimo de la divergencia
Aplica el criterio n-ésimo de la divergencia para determinar si la serie dada diverge: \[5. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \] Calculando el límite tenemos que: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{\infty(\infty+1)} = 0 \] Como el límite es cero el criterio no determina si la serie converge o diverge.
Nota. El criterio del n-ésimo término para la divergencia solo nos determina si la serie diverge, no determina si la serie converge y si \( \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = 0 \) la serie puede ser convergente o divergente.
De estos dos últimos ejemplos, se obtiene que el límite en infinito es cero y no se determina si la serie converge o diverge; sin embargo, son dos ejemplos que ya abordamos y en su momento determinamos lo siguiente:
La serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) se definió como la serie armónica y diverge.
La serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) fue el ejemplo que se vio en la serie telescópica y se determinó que converge.
Estos son dos ejemplos de series donde el límite en infinito del término general es cero, pero el comportamiento es diferente, uno converge y otro diverge.