3.3 Criterios de Convergencia
3.3.7 Criterio de la Razón o del Cociente
Sea \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) una serie de términos positivos tal que \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = L \] Entonces:
i) Si \( L \lt 1\), la serie converge.
ii) Si \( L \gt 1\), la serie diverge.
iii) Si \( L = 1\), el criterio no determina convergencia o divergencia, hay que usar otro criterio.
Ejemplo.
Determinar si la serie dada converge o diverge. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{n! \, n!} \] Usando el criterio de la razón, tenemos: \[ a_{n} = \frac{(2n)!}{n! \, n!} \;\;y\;\; a_{n+1} = \frac{(2(n+1))!}{(n+1)! \, (n+1)!} \] Calculemos el límite: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(2(n+1))!}{(n+1)! \, (n+1)!}}{\frac{(2n)!}{n! \, n!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2(n+1))! \; n! \, n! }{(2n)! \; (n+1)! \, (n+1)! } \] \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)! \; n! \, n! }{(2n)! \; (n+1)! \, (n+1)! } \] Usando la definición de factorial: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)! \; n! \, n! }{(2n)! \; (n+1)n! \, (n+1)n! } \] \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{2n+2}{n}\right) \left(\frac{2n+1}{n}\right)}{\left(\frac{n+1}{n}\right) \left(\frac{n+1}{n}\right)} \] \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{\left(2+\frac{2}{n}\right) \left(2+\frac{1}{n}\right)}{\left(1+\frac{1}{n}\right) \left(1+\frac{1}{n}\right)} = \frac{\left(2+\frac{2}{\infty}\right) \left(2+\frac{1}{\infty}\right)}{\left(1+\frac{1}{\infty}\right) \left(1+\frac{1}{\infty}\right)} \] \[ \Rightarrow \frac{(2)(2)}{(1)(1)} = 4 \gt 1 \] Por el criterio de la razón, la serie: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{n! \, n!} \; diverge. \]
Observación. El criterio de la razón es el más adecuado de emplear cuando el término general de la serie tiene factoriales.