3.3 Criterios de Convergencia
3.3.6 Criterio de la Raíz
Sea \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) una serie de términos positivos tal que \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = L \] Entonces:
i) Si \( L \lt 1\), la serie converge.
ii) Si \( L \gt 1\), la serie diverge.
iii) Si \( L = 1\), el criterio no determina convergencia o divergencia, hay que usar otro criterio.
Ejemplo.
Determinar si la serie dada converge o diverge. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{3n+1}}{n^{n}} \] Usando el criterio de la raíz, tenemos: \[ a_{n} = \frac{2^{3n+1}}{n^{n}} \] Calculemos el límite: \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{2^{3n+1}}{n^{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{2^{3n+1}}}{\sqrt[n]{n^{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2^{3n+1})^{\frac{1}{n}}}{n} \] \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{2^{3+\frac{1}{n}}}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2^3) 2^{\frac{1}{n}} }{n} = 8 \lim_{n \to \infty} \frac{2^{\frac{1}{n}}}{n} \] \[ \Rightarrow 8 \left( \frac{2^{\frac{1}{\infty}}}{\infty} \right) = 8 \left( \frac{2^{0}}{\infty} \right) = 8(0) = 0 \lt 1 \] Por el Criterio de la Raíz, la serie: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{3n+1}}{n^{n}} \; converge. \]