3.3 Criterios de Convergencia
3.3.2 Criterio de la Integral
Suponga que \(f\) es una función positiva, continua y decreciente en \( [1, \infty) \) y sea \( a_{n} = f(n) \), entonces la serie infinita \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \) es convergente si y sólo si la integral impropia \( \int\limits_{1}^{\infty} f(x)\,dx \) es convergente, esto es: \[ i. \; Si \; \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx \; converge \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \; converge.\] \[ ii. \; Si \; \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx \; diverge \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \; diverge.\]
Ejemplo 1.
Usar el criterio de la integral para demostrar que la serie armónica \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) es divergente.
Se tiene que \( f(n) = \displaystyle\frac{1}{n} \Rightarrow f(x) = \frac{1}{x} \)
Verifiquemos que cumple con las condiciones del Criterio de la Integral.
Positivia. \( f(x) = \displaystyle\frac{1}{x} \) es positiva para \( x \geq 1\)
Continuidad. \( f(x) = \displaystyle\frac{1}{x} \) no es continua para \(x=0\), así \(f(x)\) es continua para \(x \geq 1\).
Decreciente. Para determinar que es decreciente calculemos la derivada de la función: \[ f'(x) = - \frac{1}{x^2} \Rightarrow - \frac{1}{x^2} \lt 0 \; para\;toda\; x \] Luego \( f'(x) \lt 0 \) y la función es decreciente en particular para \( x \geq 1\).
Entonces \( f(x) = \displaystyle\frac{1}{x} \) es positiva, continua y decreciente para \( x \geq 1 \), así calculemos la integral impropia. \[ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \,dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x} \, dx = \lim_{b \to \infty} [\ln{x}] \bigg|_{1}^{b} \] \[\Rightarrow \lim_{b \to \infty} [\ln{b} - \ln{1}] = \lim_{b \to \infty} \ln{b} = \infty \] Así la integral impropia diverge y por el Criterio de la Integral, la serie diverge.
Ejemplo 2.
Determinar si la serie infinita \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} ne^{-n^2} \) converge o diverge.
Sea \( f(n) = ne^{-n^2} \Rightarrow f(x) = xe^{-x^2} \)
Verifiquemos que cumple con las condiciones del Criterio de la Integral.
Positivia. \( f(x) = xe^{-x^2} \) es positiva si \( x \gt 0\) y si \(e^{-x^2} \gt 0\), la función exponencial siempre es positiva, su imagen es \( (0, \infty) \), por lo cual, \(f\) es positiva para todo \(x \gt 0 \). En particular \( f(x) = xe^{-x^2} \) es positiva para \(x \geq 1\).
Continua. \( f(x) = xe^{-x^2} \) es continua para todo valor de \(x\), ya que no existe un valor de \(x\) para el cual se indetermine. En particular \( f(x) = xe^{-x^2} \) es positiva para \(x \geq 1\).
Decreciente. Para determinar que es decreciente calculemos la derivada de la función \[ f'(x) = x(-2xe^{-x^2}) + e^{-x^2} = e^{-x^2} (-2x^2 + 1) \] Tenemos \( e^{-x^2} \gt 0 \) para toda \(x\) y \( -2x^2 + 1 \lt 0 \) para \(x \geq 1\), luego \( f(x) = xe^{-x^2} \) es decreciente si \( x \geq 1 \). Por lo tanto \( f(x) = xe^{-x^2} \) es positiva, continua y decreciente para \(x \geq 1\), así calculemos la integral impropia: \[ \int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} \,dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} xe^{-x^2} \,dx \] Calculando la integral \[ \int xe^{-x^2} \,dx, \;sea\; u=-x^{2} \;y\; du=-2x\,dx \] \[ \Rightarrow \int xe^{-x^2} \,dx = -\frac{1}{2} \int e^{u} \,du = -\frac{1}{2}e^{-x^2} \] Así tenemos que: \[ \int_{1}^{\infty} xe^{-x^2} \,dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} xe^{-x^2} \,dx \] \[ \Rightarrow \lim_{b \to \infty} - \frac{1}{2} e^{-x^2} \bigg|_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left( - \frac{1}{2}e^{-b^2} + \frac{1}{2}e^{-(1)^2} \right) \] \[ = -\frac{1}{2}e^{-(\infty)^2} + \frac{1}{2}e^{-1} = -\frac{1}{2}e^{-\infty} + \frac{1}{2}e^{-1} \] \[ \Rightarrow 0 + \frac{1}{2}e^{-1} = \frac{1}{2}e^{-1} \] Así la integral impropia converge y por el criterio de la integral, concluimos que la serie infinita es convergente.