3.3 Criterios de Convergencia

3.3.5 Criterio de Comparación por Límite (CCL)

Ejemplo 1.

Determinar si la serie dada converge o diverge. \[ 1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}} \] Sea \( a_{n} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}}\) \[ n^2 + 1 \gt n^2 \] \[ \sqrt[3]{n^2+1} \gt \sqrt[3]{n^2} \] Tomando el recíproco se tiene que: \[ \frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}} \lt \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \] Teniendo en cuenta que \(a_{n} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}} \) y \(b_{n} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \) aplicaremos el Criterio de Comparación por Límite. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^2}}{\sqrt[3]{n^2+1}} \] \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{\frac{n^2}{n^2+1}} = \sqrt[3]{\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+1} } \] \[ \Rightarrow \sqrt[3]{\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2}}{\frac{n^2+1}{n^2}}} = \sqrt[3]{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n^2}}} \] \[ \Rightarrow \sqrt[3]{\frac{1}{1 + \frac{1}{(\infty)^2}}} = \sqrt[3]{\frac{1}{1+0}} = 1 \gt 0 \] Como el límite es mayor que cero el criterio nos dice que las dos series \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}} \;y\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \] convergen o divergen. Con respecto a la serie \( \sum b_{n} \) tenemos que \[ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{2}{3}}} \] es una serie hiperarmónica con \( p=\displaystyle\frac{2}{3} \lt 1 \) y diverge. Por lo tanto, la serie: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n^2+1}} \; diverge. \]

Ejemplo 2.

Determinar si la serie dada converge o diverge. \[ 2. \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + 1 } \] Esta serie la resolvimos en el ejemplo 3 de la sección anterior "Criterio Básico de Comparación", a la cual no se le pudo aplicar el Criterio Básico de Comparación y resolvimos con el Criterio de la Integral en un proceso largo, el aplicar el Criterio de Comparación por Límite nos da otra opción para obtener si converge o diverge más directo.

Como ya se usó esta serie tenemos que \[ a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + 1} \;y\; b_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \] Calculemos el límite: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n} + 1}}{\frac{1}{\sqrt{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1} \] \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}{\frac{\sqrt{n}+1}{\sqrt{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{n}}} \] \[ \Rightarrow \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{\infty}}} = 1 \gt 0 \] Como el límite es mayor que cero el criterio nos dice que las dos series \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + 1 } \;y\; \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \] convergen o divergen. Con respecto a la serie \( \sum b_{n} \) tenemos que \[ \sum_{n=2}^{\infty} b_{n} = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}} \] es una serie hiperarmónica con \( p=\displaystyle\frac{1}{2} \lt 1 \) y diverge. Por lo tanto, la serie: \[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + 1 } \; diverge. \]

🤓 Observación. Notamos que el método empleado para determinar la convergencia o divergencia de una serie no es único, esto es, podemos aplicar diferentes métodos para resolver un problema, por lo que siempre se deben verificar las condiciones que se requieren en cada método; además que la laboriosidad de la solución depende del método empleado, a medida que resuelvas más problemas te será más fácil identificar que método utilizar para llegar más rápidamente a la solución, recuerda que la práctica hace al maestro.

Estos dos ejemplos ya los habíamos intentado resolver por el Criterio Básico de Comparación y esto hizo posible que tuviéramos la serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n} \), pero no siempre tenemos que iniciar aplicando este criterio. Una forma de obtener la expresión para la serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n} \) es usando los términos mayores del numerador y del denominador de la función dada en el término general de \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \).

Ejemplo 3.

Determinar si la serie dada converge o diverge. \[ 3. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2 + 5n}{2^{n}(n^2+1)} \] Para determinar \(b_{n}\) consideremos los términos mayores del numerador y del denominador de: \[ a_{n} = \frac{3n^2 + 5n}{2^{n}(n^2+1)} \] \[ b_{n} = \frac{3n^2}{2^{n}n^2} = \frac{3}{2^n} \] Aplicando el criterio de comparación por límite se tiene: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n^2 + 5n}{2^{n}(n^2+1)}}{\frac{3}{2^n}} \] \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{2^n(3n^2 + 5n)}{2^n(3)(n^2+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 5n}{3(n^2+1)} \] \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3n^2 + 5n}{n^2}}{3\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{5}{n}}{3\left(1 + \frac{1}{n^2}\right)} \] \[ \Rightarrow \frac{3 + \frac{5}{\infty}}{3\left(1 + \frac{1}{\infty^2}\right)} = \frac{3}{3(1)} = 1 \gt 0 \] Como el límite es mayor que cero el criterio nos dice que las dos series \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2 + 5n}{2^{n}(n^2+1)} \;y\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{2^n} \] convergen o divergen. Con respecto a la serie \( \sum b_{n} \) tenemos que \[ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2^n} = 3 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} \] \[ \Rightarrow 3 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n \] es una serie geométrica con \(r = \displaystyle\frac{1}{2} \) y \(|r| = \displaystyle\frac{1}{2} \lt 1 \), por lo que la serie: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3n^2 + 5n}{2^{n}(n^2+1)} \; converge. \]