3.3 Criterios de Convergencia

3.3.4 Criterio básico de comparación (CBC)

Aclaración importante.

Para aplicar este criterio, es necesario tener presente una lista de series cuya convergencia o divergencia se pueda determinar fácilmente como por ejemplo las series geométricas, las cuales convergen si \( |r| \lt 1 \) y divergen en otro caso, las series hiperarmónicas, las cuales convergen si \(p \gt 1\) y divergen en otro caso, y las series cuyo límite de su n-ésimo término sea diferente de cero ya que estas divergen, esto último aplicando el criterio del n-ésimo termino para la divergencia.

Asimismo, \(b_{n}\) se determina a partir de \(a_{n}\) considerando el término predominante en el numerador y en el denominador, en el caso de polinomios, el término predominante es el que tiene la variable con mayor exponente.

Ejemplo 1.

Determinar si la serie dada converge o diverge. \[ 1. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3+5^{n}} \] Partiendo de la expresión algebraica de la serie determinemos la expresión de la serie con la cual se compara. Así \( a_{n} = \frac{1}{3+5^n} \) y tenemos que determinar la expresión de \(b_{n}\)

Sabemos que la suma de dos sumandos es mayor que cada uno de los sumandos: \[ 3 + 5^{n} \gt 5^{n} \] Tomando el recíproco se tiene que: \[ \frac{1}{3 + 5^{n}} \lt \frac{1}{5^{n}} \] Así \( b_{n} = \displaystyle\frac{1}{5^{n}} \) y \(a_{n} \lt b_{n} \)

Determinemos si la serie \(\sum b_{n}\) converge o diverge, para poder aplicar el criterio básico de comparación. \[ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{n}} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{5} \right)^n \] Vemos que se trata de una serie geométrica con \(r = \displaystyle\frac{1}{5} \), como \( |r| \lt 1 \), la serie converge.

Por lo tanto \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^{n}} \) converge y además: \[ a_{n} = \frac{1}{3+5^{n}} \lt \frac{1}{5^{n}} = b_{n} \] Por el criterio básico de comparación concluimos que la serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3+5^{n}} \) converge.

Ejemplo 2.

Determinar si la serie dada converge o diverge. \[ 2. \sum_{n=2}^{\infty} \frac{3}{\sqrt{n} - 1} \] Sea \( a_{n} = \displaystyle\frac{3}{\sqrt{n} - 1} \) y tenemos que \[ \sqrt{n} - 1 \lt \sqrt{n} \] Tomando el recíproco se tiene que: \[ \frac{1}{\sqrt{n} - 1} \gt \frac{1}{\sqrt{n}} \] Multiplicando por 3 y comparamos \[ \frac{3}{\sqrt{n} - 1} \gt \frac{3}{\sqrt{n}} \gt \frac{1}{\sqrt{n}} \] Así \( a_{n} = \displaystyle\frac{3}{\sqrt{n} - 1} \) y \( b_{n} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \)

La serie \( \sum\limits_{n=2}^{\infty} b_{n} = \sum\limits_{n=2}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \), es una serie hiperarmónica con \( p = \frac{1}{2} \lt 1 \) y la serie diverge y además: \[ a_{n} = \frac{3}{\sqrt{n} - 1} \gt \frac{1}{\sqrt{n}} = b_{n} \] Por el criterio básico de comparación concluimos que la serie \( \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{3}{\sqrt{n} - 1}\) diverge.

Ejemplo 3.

Determinar si la serie dada converge o diverge. \[ 3. \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + 1} \] Sea \( a_{n} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n} + 1} \) y tenemos que \[ \sqrt{n} + 1 \gt \sqrt{n} \] Tomando el recíproco se tiene que: \[ \frac{1}{\sqrt{n} + 1} \lt \frac{1}{\sqrt{n}} \] Así \( a_{n} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n} + 1} \) y \( b_{n} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \)

La serie \( \sum\limits_{n=2}^{\infty} b_{n} = \sum\limits_{n=2}^{\infty} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}} \), es una serie hiperarmónica con \( p = \frac{1}{2} \lt 1 \) y la serie diverge y además: \[ a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + 1} \lt \frac{1}{\sqrt{n}} = b_{n} \] El criterio básico de comparación no nos permite concluir si la serie converge o diverge. Ya que no se cumplen ambas condiciones, el criterio dice que \( \sum b_{n} \) diverge y \( a_{n} \geq b_{n} \).

Usemos otro criterio, por ejemplo, el criterio de la integral que es el que conocemos hasta ahora, primero verifiquemos si se cumplen las condiciones requeridas para poder aplicar este criterio.

Sea \( f(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x} + 1} \), \(f\) es una función positiva y continua para toda \( x \geq 0 \), en consecuencia, también para toda \( x \geq 2 \).

La derivada de la función es: \[ f'(x) = - \frac{1}{2\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) } \] la cual es negativa para todo \( x \geq 0 \), por lo cual es decreciente para toda \( x \geq 2 \). Como se cumplen las condiciones requeridas es posible aplicar el criterio de la integral.

Ahora utilicemos la definición de integral impropia para la integral \( \int\limits_{2}^{\infty} \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x} + 1} \) \[ \Rightarrow \int_{2}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x} + 1} = \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \frac{dx}{\sqrt{x} + 1} \] Primero caculemos la integral indefinida \( \int \frac{dx}{\sqrt{x} + 1} \) y el resultado lo sustituiremos en la ecuación anterior. Realizando un cambio de variable tenemos lo siguiente: \[ Tomando \; u = \sqrt{x} \Rightarrow du = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx \] \[ \Rightarrow dx = 2\sqrt{x}\,du = 2u\,du \] \[ \Rightarrow \int \frac{dx}{\sqrt{x} + 1} = \int \frac{2u\,du}{u+1} \] \[ Tomando \; v = u+1 \Rightarrow dv = du \;\;y\;\; u = v-1 \] \[ \Rightarrow \int \frac{2u\,du}{u+1} = 2 \int \frac{v-1}{v} \,dv \] \[ \Rightarrow 2 \int dv - 2 \int \frac{dv}{v} = 2v - 2\ln{⁡v}\] \[ \Rightarrow 2(u+1) - 2 \ln{⁡(u+1)} \] \[ \Rightarrow 2(\sqrt{x}+1) - 2 \ln{⁡(\sqrt{x}+1)} \] Sustituyendo este resultado en la ecuación anterior, se tiene \[ \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \frac{dx}{\sqrt{x} + 1} = \lim_{b \to \infty} \bigg( 2(\sqrt{x}+1) - 2 \ln{⁡(\sqrt{x}+1)} \bigg) \bigg|_{2}^{b} \] \[ = \lim_{b \to \infty} \bigg( \bigg[ 2(\sqrt{b}+1) - 2 \ln{⁡(\sqrt{b}+1)} \bigg] - \bigg[ 2(2) - 2\ln{2} \bigg] \bigg) \] \[ = \bigg( \lim_{b \to \infty} 2(\sqrt{b}+1) - 2 \ln{⁡(\sqrt{b}+1)} \bigg) - 4 + 2\ln{2} \] Ahora, procedamos a calcular el límite: \[ \lim_{b \to \infty} 2(\sqrt{b}+1) - 2 \ln{⁡(\sqrt{b}+1)} = \infty - \infty \] Obtenemos una forma indeterminada, por lo que podemos aplicar lo siguiente: \[ \lim_{b \to \infty} 2(\sqrt{b}+1) - 2 \ln{⁡(\sqrt{b}+1)} \] \[ = 2 \lim_{b \to \infty} (\sqrt{b}+1) - \ln{⁡(\sqrt{b}+1)} \] Usando la función exponencial y el logaritmo natural, podemos expresar el primer sumando del límite como un logaritmo natural, es decir, usando el hecho de que \( a = e^{ln{a}} \) se tiene que: \[ = 2 \lim_{b \to \infty} \ln{e^{(\sqrt{b}+1)}} - \ln{⁡(\sqrt{b}+1)} \] Por propiedades de los logaritmos: \[ = 2 \lim_{b \to \infty} \ln{\left( \frac{e^{(\sqrt{b}+1)}}{\sqrt{b}+1} \right)} = 2 \;\ln \lim_{b \to \infty} \left( \frac{e^{(\sqrt{b}+1)}}{\sqrt{b}+1} \right) \] Calculemos el límite: \[ \lim_{b \to \infty} \left( \frac{e^{(\sqrt{b}+1)}}{\sqrt{b}+1} \right) = \frac{\infty}{\infty} \] Aplicado la regla de L’Hôpital: \[ \lim_{b \to \infty} \left( \frac{e^{(\sqrt{b}+1)}}{\sqrt{b}+1} \right) = \lim_{b \to \infty} \frac{\frac{1}{2\sqrt{b}} e^{(\sqrt{b}+1 )}}{\frac{1}{2\sqrt{b}}} \] \[ \Rightarrow \lim_{b \to \infty} e^{(\sqrt{b}+1 )} = e^{\infty} = \infty \] Sustituyendo el valor del límite se tiene que: \[ \int_{2}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x}+1} = 2\;\ln \lim_{b \to \infty} \left( \frac{e^{(\sqrt{b}+1)}}{\sqrt{b}+1} \right) \] \[ \Rightarrow 2 \ln{(\infty)} = \infty \] Por lo tanto, la serie \( \sum\limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} + 1} \) diverge. El procedimiento para determinar la convergencia o divergencia de la serie dada en el ejemplo resultó ser laborioso. Existen otros métodos que podrían resultar menos laboriosos, uno de los cuales veremos a continuación.

Nota. En los ejemplos 2 y 3 las series no inician en \(1\), sino en \(2\). Pueden iniciar en algún otro número entero y esto no afecta el procedimiento o criterio que se emplea.