3.1 Sucesiones
3.1.4 Convergencia de una sucesión
Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.
La sucesión \(\{a_{n}\}\) tiene límite \(L\) o converge a \(L\), lo cual se denota por : \[ \lim_{n \to \infty} a_{n} = L \] si dado \( \varepsilon \gt 0 \) existe un número positivo \(N\) tal que: \[ | a_{n} - L | \lt \varepsilon \;siempre\;que\; n \gt N \] si tal número \(L\) no existe, decimos que la sucesión no tiene límite o que diverge.
Esta definición nos dice que para determinar si una sucesión dada \(\{a_{n}\}\) converge, tenemos que ver si el límite \( \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} \) existe.
Hasta el momento sabemos determinar límites de funciones y en caso de que obtengamos una forma indeterminada ya conocemos estrategias para su solución, también al tener el concepto de límite sabemos las leyes de los límites y propiedades que cumplen. Sin embargo, todavía hay límites que no podremos calcular, para solventar esto agregaremos nuevos teoremas que nos proporcionarán más estrategias para la solución de límites.