1.4 Aplicaciones de la integral definida.

1.4.1 Introducción.

Las aplicaciones de la integral definida son muchas como es el caso de la obtención de áreas, de volúmenes, para determinar la longitud de arco, entre otras. Comenzaremos con el uso de la integral definida para determinar áreas ente una función \(f(x)\) y el eje \(x\).

Definición:
Como primer paso, nos interesa calcular el área comprendida entre la gráfica de una función \(f\) y el eje \(x\) entre \(x = a\) y \(x = b\), sabiendo que \(f\) es integrable en \([a,b]\).

Caso 1.

En primer lugar, consideraremos el caso en que la gráfica de \(f\) está por arriba del eje \(x\).

Al introducir la noción de integral vimos que si la función \(f\) es positiva o cero en el intervalo \([a,b]\), el área de la región comprendida entre el eje \(x\) y la gráfica de la función \(f\) entre los lımites \(a\) y \(b\) es: \[ A = \int_{a}^{b} f(x) \,dx \]

Ejemplo.

Calcular el área de la región comprendida entre el eje x y la gráfica de la función \(f(x)=x^{2}-1\) entre \(x=1\) y \(x=3\).

Como la función \(f\) es positiva o cero en el intervalo \([1,3]\), el área \(A\) esta dada por \[ A = \int_{1}^{3} (x^2-1) \,dx \] Para calcular la integral, podemos usar la regla de Barrow, ya que como \(F(x)= \frac{1}{3} x^{3}-x \) es una primitiva de \(f(x)=x^{2}-1\), tenemos que: \[ A = \int_{1}^{3} (x^2-1) \,dx = \left( \frac{1}{3}x^3 - x \right) \Big|_{1}^{3} \] \[ \Rightarrow \left( \frac{1}{3}3^3 - 3 \right) - \left( \frac{1}{3}1^3 - 1 \right) = 6 - \left( - \frac{2}{3} \right) \] \[ \therefore A = \frac{20}{3} \]

Caso 2.

El segundo caso que consideramos es cuando la gráfica de \(f\) está por debajo del eje \(x\), tal y como se muestra a continuación:

Es decir, la función \(f\) es negativa o cero en el intervalo \([a,b]\). En esta situación, la integral definida da el área de la región comprendida entre el eje \(x\) y la gráfica de la función \(f\) pero con el signo cambiado (es decir, da negativo). Por lo tanto, para calcular el área, bastará con cambiar el signo de la integral.

Concluimos entonces que si la función \(f\) es negativa o cero en el intervalo \([a,b]\), el área de la región comprendida entre el eje \(x\) y la gráfica de la función \(f\) entre los límites a y b es: \[ A = - \int_{a}^{b} f(x) \,dx \]

Ejemplo.

Calcular el área de la región comprendida entre el eje \(x\) y la gráfica de la función \(f(x)=-x^{2}-1\) entre \(x = -2\) y \(x = 1\), tal y como podemos ver en la siguiente gráfica:

La función \(f\) toma valores negativos en todo \(R\), con lo cual el área \(A\) buscada es: \[ A = - \int_{-2}^{1} (-x^{2}-1) \,dx \] \[ \Rightarrow \left( \frac{1}{3}x^3 - x \right) \Big|_{-2}^{1} = \left( \frac{1}{3}1^3 + 1 \right) - \left( \frac{1}{3}(-2)^3 + (-2) \right) \] \[ \Rightarrow \frac{4}{3} + \frac{14}{3} = \frac{18}{3} = 6 \] \[ \therefore A = 6 \]

Caso 3.

Finalmente, si se quiere calcular el área de la región comprendida entre el gráfico de una función \(f\) y el eje \(x = a\) y \(x = b\) en el caso en que \(f\) toma valores positivos y negativos en el intervalo \([a,b]\), se deben estudiar los cambios de signo de la función en el intervalo considerado.

Por ejemplo, para calcular el área de la región sombreada de la siguiente gráfica:

Podemos descomponerla en dos áreas que previamente calculamos: si tomamos a \(c\) como el punto de intersección de la gráfica de \(f\) con el eje \(x\) (es decir, el punto del intervalo \([a;b]\) donde la función vale \(0\)), entonces, como se puede ver en el siguiente gráfico, \(f(x) \leq 0\) para todo \(x\ \in [a;c] \) y \(f(x) \geq 0\) para todo \(x \in [c;b] \).

Entonces, podemos calcular el área \(A_{1}\) comprendida entre la gráfica de \(f\) y el eje \(x\) para \(a \leq x \leq c\) y el área \(A_{2}\) comprendida entre la gráfica de \(f\) y el eje \(x\) para \(c \leq x \leq b\) , y obtener el área \(A\) como la suma de estas dos áreas: \[ A = A_{1} + A_{2} = - \int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx \]

Ejemplo

Calcular el área de la región comprendida entre el eje \(x\) y la gráfica de la función \(f(x)=x^{2} + 2x - 3\) entre \(x = -1\) y \(x = 2\).

Primero, veamos si la gráfica de la función \(f(x)=x^{2} + 2x - 3\) corta el eje \(x\) para algún valor de \(x \in [-1;2]\). Para lo cual se determinan los valores que hacen cero la función \(f\): \begin{array}{rcl} x^{2} + 2x - 3 &=& 0 \\ (x+3)(x-1) &=& 0 \end{array} \[ x = 1 \:\: y \:\: x = -3 \] De estos valores \(1 \in [-1,2]\) y \(-3\) no pertenece al intervalo \([-1,2]\), con lo cual solo nos interesa \(x = 1\). En la siguiente gráfica se muestra una aproximación del área que se solitica:

Tenemos que \(f(x) \leq 0\) para todo \(x\ \in [-1,1] \) y \(f(x) \geq 0\) para todo \(x \in [1,2] \). Entonces el área a calcular es: \[ A = A_{1} + A_{2} = - \int_{-1}^{1} (x^{2} + 2x - 3) \,dx + \int_{1}^{2} (x^{2} + 2x - 3) \,dx \] Para calcular las integrales definidas en cuestión, usamos la regla de Barrow. Una primitiva de \(f(x)=x^{2} + 2x - 3\) es \( \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3x\), entonces, tenemos lo siguiente: \[ A = - \left( \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - 3x \right) \Big|_{-1}^{1} + \left( \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - 3x \right) \Big|_{1}^{2} \] \[ \Rightarrow - \left( \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) - \left( \frac{1}{3}(-1)^{3} + (-1)^{2} - 3(-1) \right) \right) \] \[ + \left( \left( \frac{1}{3}(2)^3 + (2)^2 - 3(2) \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right) \right) \] \[ \Rightarrow - \left( - \frac{16}{3} \right) + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} \] \[ \therefore A = \frac{23}{3} \]